【抽象代数】Mathematica怎么分析s4？

1、列举S4的所有元素：

S4 = GroupElements[SymmetricGroup[4]]

这个群有24个元素。

2、求出这个群的最小生成元集合：

s4 = SymmetricGroup[4];

GroupGenerators[s4]

3、给出生成元的矩阵表示：

a = {{0, 1, 0, 0}, {1, 0, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}};

b = {{0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}, {1, 0, 0, 0}};

容易验证，a可以代表Cycles[{{1, 2}}]，{{1,2,3,4}}与矩阵a的乘积，表示把第一个元素和第二个元素轮换位置，其余位置的元素不变；

b可以代表Cycles[{{1, 2, 3, 4}}]，{{1,2,3,4}}与矩阵b的乘积，表示四个元素轮换一个位置。

4、根据a和b，并使用矩阵乘积，就可以算出s4的矩阵表示。

先算出a生成的子群A：

A = MatrixPower[a, #] & /@ Range[24] // Union

并且证明了，a是2阶元素。

5、b生成一个四阶子群B：

B = MatrixPower[b, #] & /@ Range[24] // Union

6、子群A和子群B的乘积：

CC = (Table[aa.bb, {aa, A}, {bb, B}] // Flatten[#, 1] &) // Union

读者可以自行验证，看看CC是不是群，是否满足群的基本定义。

7、集合CC与CC的乘积，就得到s4的矩阵表示：

DD = (Table[aa.bb, {aa, CC}, {bb, CC}] // Flatten[#, 1] &) // Union;

恰好24个不同的4阶矩阵。

8、为了证明DD是群，只需要验证DD=DD×DD即可：

DD == ((Table[aa.bb, {aa, DD}, {bb, DD}] // Flatten[#, 1] &) // Union)