函数y=x^3-2x的单调凸性质及图像

1、       本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限和奇偶性等性质，介绍函数用导数工具画函数y=x^3-2x的图像的主要步骤。

1、根据函数特征，函数自变量可以取全体实数，即定义域为：(-∞，+∞）。

2、通过函数的一阶导数，求出函数驻点，由一阶导数的正负，判断函数的单调性，进而得到函数的单调区间。

3、通过求解函数的二次导数，判定函数图像的凸凹性。

4、函数的极限，对于本题，主要是在正无穷处和负无穷处的极限，即求出函数在无穷处的极限。

5、函数的奇偶性，因为f(-x)=-f(x),所以函数为奇函数，函数图像关于原点对称，具体判断过程如下图所示：

6、函数图像五点示意图，列图表解析函数上的五点图如下表所示。

7、综合以上函数的相关性质，结合函数的定义域，即可简要画出函数的示意图。

1、已知函数y=x3-2x，通过导数知识，求:(1)求函数f(x)在点A(0,f(0))处的切线；(2)求函数f(x)单调区间及极值。

2、解：问题（1）：

当x=0时，y(1)=1*03-2*0=0;

y=13-2x,求导得：

y´=2x2-2,当x=0时，

y´(1)=2*02-2=-2，即为切线的斜率。

则切线的方程为:

y-0=-2(x-0),化为一般方程为：

y+2x=0。

3、问题(2)：

y´=2x2-2，令y´=0，则x=±1 .

1).当x∈(-∞，-1 )和(11，+∞)时，

y´>0,此时函数y为单调增函数，所求区间为单调增区间。

2).当x∈[-1 ,1 ]时，

y´<0,此时函数y为单调减函数，所求区间为单调减区间。

则在x1=-11处取极大值，在x2=11 处取极小值。

所以：

极大值=f(-1 )

=-(1 )3-2*(-1 )=1;

极小值=f(11 )

=(1 )3-2*(1 )=-1。