Mathematica应用——计算曲线的弧长

1、先画一条空间曲线：r[t_]:={Cos[3 t] Cos[t],Cos[3 t] Sin[t],t/3};

ParametricPlot3D[r[t],{t,0,2 Pi}]

2、画出这条曲线的一个切向量，就以t=Pi/10为例：

r'[t]

Show[ParametricPlot3D[r[t],{t,0,2 Pi}],

     Graphics3D[Arrow[{r[t]/.t->Pi/10,r'[t]/10/.t->Pi/10}]]]

3、计算曲线的弧长元素：

r'[t].r'[t]//TrigReduce

计算弧长：

Integrate[%,{t,0,2 Pi}]

Integrate[%%,{t,0,t}]//FullSimplify

答案涉及到了椭圆积分函数。

4、Mathematica10.0以后，有了一个专门计算曲线弧长的函数——ArcLength。

ArcLength[r[t], {t, 0, 2 Pi}]

ArcLength[r[t], {t, 0, t}]//FullSimplify

5、但是，这里是很难求出曲线r[t]的自然参数来的。所以，试验一条简单的曲线：圆——r[t_]:={a Cos[t]+c,a Sin[t]-b,d};

ArcLength[r[t], {t, 0, 2 Pi}]

ArcLength[r[t], {t, 0, t}]//FullSimplify

此时就很容易求出曲线的自然参数。