函数y=9x/(1+x^2)的图像

1、函数为分式函数，根据函数特征，函数分母不为0，并可求得函数自变量可以取全体实数。

2、补充知识，什么是函数的定义域：

设x、y是两个变量，变量x的变化范围为D，如果对于每一个数x∈D，变量y遵照一定的法则总有确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，x∈D，x称为自变量，y称为因变量，数集D称为这个函数的定义域。

1、求出函数的一阶导数，并求出函数的驻点，判断函数一阶导数的符号，进而得到单调性和单调区间。

2、补充知识点，导数与函数的单调性：

       导数定义为，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。一阶导数表示的是函数的变化率，最直观的表现就在于函数的单调性。设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶导数，那么:(1)若在(a,b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递增;(2)若在(a,b)内f'(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递减。

1、求解函数的二阶导数，令二阶导数为0，进一步得函数的拐点，从而解析函数的凸凹性和凸凹区间。

2、知识点加油站：

       在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0。

1、根据函数奇偶性判定原则，可解析函数为奇函数，则图像关于原则对称。

2、函数奇偶性判定原则：

如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 

如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

1、根据函数性质，求出函数在定义域端点即在无穷大处的极限。

2、函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。

1、列表，函数部分点解析表如下：

1、综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性、奇偶性以及极限等性质，函数的示意图如下：