函数奇偶性与非奇非偶函数的判断方法

1、一、图像法判断函数奇偶性的几个等价条件

1、一个函数是奇函数的充要条件是，这个函数的函数图像关于原点对称。

2、一个函数是偶函数的充要条件是，这个函数的函数图像关于y轴对称。

3、一个函数既是奇函数又是偶函数的充要条件是，这个函数的函数图像既关于原点对称又关于y轴对称。

4、一个函数是非奇非偶函数（既不是奇函数，又不是偶函数）的充要条件是，这个函数的函数图像既不关于原点对称又不关于y轴对称。

2、二、定义域的对称性判断函数奇偶性

1、函数具有奇偶性的前提是这个函数的定义域关于原点对称。

2、定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数（不具有奇偶性）。

3、三、定义法判断函数的奇偶性

如果一个函数y=f(x)的定义域关于原点对称，则：

（1）y=f(x)是奇函数的充要条件是，对定义域中的任意x都有f(-x)=-f(x)成立。

（2）y=f(x)是偶函数的充要条件是，对定义域中的任意x都有f(-x)=f(x)成立。

（3）y=f(x)既是奇函数又是偶函数的充要条件是，对定义域中的任意x既恒有f(-x)=-f(x)成立又恒有f(-x)=f(x)成立。

（4）y=f(x)是非奇非偶函数（既不是奇函数又不是偶函数）的充要条件是，对定义域中的任意x，f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x)都不恒成立。

4、四、奇偶函数四则运算性质

假设两个具有奇偶性的函数的定义域的交集非空，则这两个函数的的四则运算后的奇偶性一般有如下结论成立：

1、奇函数±奇函数=奇函数。

2、偶函数±偶函数=偶函数。

3、奇函数±偶函数=非奇非偶函数。

4、偶函数±奇函数=非奇非偶函数。

5、奇函数×奇函数=偶函数。

6、偶函数×偶函数=偶函数。

7、奇函数÷奇函数=偶函数。

8、偶函数÷偶函数=偶函数。

9、奇函数×偶函数=奇函数。

10、偶函数×奇函数=奇函数。

11、奇函数÷偶函数=奇函数。

12、偶函数÷奇函数=奇函数。

5、五、非奇非偶函数的判断方法总结

图像、定义域、解析式、奇偶函数的四则运算性质是判断一个函数是否是非奇非偶函数的四个角度。

（1）函数图像：既不关于原点对称，也不关于y轴对称。

（2）定义域：定义域不关于原点对称。

（3）解析式：不满足对定义域内的任意x，恒有f(-x)=-f(x)成立，或恒有f(-x)=f(x)成立。

（4）奇偶函数四则运算性质：奇函数与偶函数的和或差为非奇非偶函数。