【抽象代数】商环的理想

1、考虑一个映射π：

R→R'

r→r+J

把R的每个元素r，映射到相应的陪集r+J里面。

2、这个映射一般是不可逆的。

因为R的两个不同的元素，很可能映射到同一个陪集里面。

3、如果I是R的某个理想，那么，π(I)就是R'的理想。

这只需要证明π(I)*R'=π(I)，也就是乘法保持封闭。

4、如果I'是R'的一个理想，那么，I'关于π的原像I就是R的理想。

这一点可以使用反证法证明。

注意，步骤二指出了，映射π一般不可逆，所以，并不能根据I'求出I。

5、如果I、J是R的理想，R'=R/J，映射π：

R→R'

r→r+J

在这个映射下，I'=π(I)就是R'的理想。

求证：R/I与R'/I'同构。

为此，考虑一个映射φ：

R'→R'/I'

r'→r'+I'

6、π与φ的合成，记为ρ，它把R映射到R'/I'上：

R→R'→R'/I'

r→r+J→r+J+I'

这个映射，把I映射为I'。

这就完成了证明R/I与R'/I'同构。