如何在matlab中进行QR 分解

1、正交矩阵或包含正交列的矩阵为实矩阵，其列全部具有单位长度并且相互垂直。如果 Q 为正交矩阵，则Q ′ Q = 1 。最简单的正交矩阵为二维坐标旋转：

5、在许多情况下，Q 的最后 m – n 列是不需要的，因为这些列会与 R 底部的零相乘。因此，精简 QR 分解可生成一个矩形矩阵（具有正交列的 m×n Q）以及一个方阵 n×n 上三角形矩阵 R。对于 5×4 示例，不会节省太多内存，但是对于更大的大量矩形矩阵，在时间和内存方面的节省可能会很重要：[Q,R] = qr(C,0)

6、与 LU 分解相比，QR 分解不需要进行任何消元或置换。但是，可选的列置换（因存在第三个输出参数而触发）对检测奇异性或秩亏是很有帮助的。在分解的每一步，未分解的剩余矩阵的列（范数最大）将用作该步骤的基础。这可以确保 R 的对角线元素以降序排列，并且各列之间的任何线性相关性肯定能够通过检查这些元素来显示。对于此处提供的小示例，C 的第二列的范数大于第一列的范数，因此这两列被交换：[Q,R,P] = qr(C)

8、QR 分解可将超定线性方程组转换为等效的三角形方程组。表达式norm猾诮沓靥(A*x - b)等于norm(Q*R*x - b)与正交矩阵相乘可保留欧几里德范数，因此该表达式也等于nor罪焐芡拂m(R*x - y)其中 y = Q'*b。由于 R 的最后 m-n 行为零，因此该表达式将分为两部分：norm(R(1:n,1:n)*x - y(1:n))并且norm(y(n+1:m))如果 A 具有满秩，则可以对 x 求解，使这些表达式中的第一个表达式为零。然后，第二个表达式便可以提供残差范数。如果 A 没有满秩，则可以通过 R 的三角形结构体对最小二乘问题求基本解。