解析函数y=2^(4x^2+2x+1)的性质

1、函数基本类型为指数函数，由函数特征知函数的自变量x可以取全体实数，即定义域为：（-∞，+∞）。

2、     在复合函数当中，内层函数和外层函数在相同的定义域内有相同的增减性或不同的增减性。

      设由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数为y=f[g(x)].如果g(x)在[a，b]上是增函数，f(u)在[g(a)，g(b)]上是增（减）函数，那么复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上增（减）函数；

     如果g(x)在[a，b]上是减函数，f(u)在[g(b)，g(a)]上是增（减）函数，那么复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上减（增）函数。

3、复合函数单调性判断：

对于本题,该复合函数可由以下两个函数复合而成:

y=2^u,u=2^(4x^2+2x+1），

其中y=2^u,是指数函数，在定义域上为增函数。

则当u为增函数时，y为增函数，反之亦然。

对于u=4x^2+2x+1为二次函数，单调性与开口和对称轴有关，其中开口向上，对称轴为x=-1/4,则：

(1)当x∈(-∞，-1/4)时，函数为减函数；

(2)当x∈(-1/4,+∞)时，函数为增函数。

4、函数的极值：

此处介绍用函数的导数知识求解，步骤为：

∵y=2^(4x^2+2x+1）,

∴dy/dx=2^(4x^2+2x+1)*ln2*(8x+2),

令dy/dx=0,则：8x+2=0,即x=-1/4.

(1)当x∈(-∞，1/4)时，dy/dx<0,函数为减函数；

(2)当x∈(-1/4,+∞)时，dy/dx>0,函数为增函数。

则当x=-1/4时，函数有最小值，即：

ymin=2^[4*(-1/4)^2-1/2+1]=2^(3/4).

可知函数的值域为：[2^(3/4),+∞)

5、函数的凸凹性：

dy/dx=2^(4x^2+2x+1)*ln2*(8x+2)

d^2y/dx^2

=ln2*[2^(4x^2+2x+1)(8x+2)^2*ln2+2^(4x^2+2x+1)*8]

=ln2*2^(4x^2+2x+1)[(8x+2)^2*ln2+8]

∵(8x+2)^2>0,∴(8x+2)^2*ln2+8>0,

即d^2y/dx^2>0，则函数的图像为凹函数。

6、函数一阶导数的应用：

       ※举例求点A(0,2^1)处的切线和法线方程。

在点A(0,2^1)处，有:dy/dx=2*2^1*ln2,即为切线的斜率，

则切线方程为：y-2^1=2ln2*2^1*x,

法线的斜率与切线的斜率乘积为-1，即可求出法线方程为：

y-2^1=-x/(2ln2*2^1).

7、※举例求点B(-1/4, 2^(3/4))处的切线和法线方程。

在点B(-1/4,2^(3/4))处，有:

dy/dx=ln2*0=0,即为切线的斜率，

则切线方程为：y=2^(3/4),

此时法线的斜率不存在，则法线方程为：

x=-1/4.