七道数学极限练习题及计算过程C01

1、1.计算lim(n→∞)(28n²-17)/(6n⁴+10n-13)

解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(28n²-17)/(6n⁴+10n-13)

=lim(n→∞)(28/n-17/n⁴)/(6+10/n³-13/n⁴),

=0。

2、2.计算lim(n→∞)(8n-17n-15)/(37+8n-38n²)

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(8n²-17n-15)/(37+8n-38n²)

=lim(n→∞)(8-17/n-15/n²)/(37/n+8/n-38),

=(8-0)/(0-38),

=-4/19。

   思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)( 8n²-17n-15)/(37+8n-38n²)

=lim(n→∞)(16n-17)/(8-76n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(16-0)/(0-76)，

=-4/19。

3、3.求极限lim(x→1)(x³-36x+35)/(x⁴-5x+4)

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-36x+35)/(x⁴-5x+4)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-35)/[(x-1)(x³+x²+x-4)],

=lim(x→1)(x²+x-35)/(x³+x²+x-4),

=(1+1-35)/(1+1+1-4),

=33。

4、4.求lim(x→0)(29x+22sin2x)/(24x-30sin6x)

解：思路一：本薪况题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(29x+22sin2x)/(24x-30sin6x)，

=lim(x→0)(29+22sin2x/x)/(24-30sin6x/x)，

=lim(x→0)(29+44sin2x/2x)/(24-180sin6x/6x)，

=(29+44)/(24-180)，

=-73/156。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(29x+22sin2x)/(24x-30sin6x)，

=lim(x→0)(29+22*2cos2x)/(24-30*6cos6x)，

=(29+22*2)/(24-30*6)，

=-73/156。

5、5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(43x+51)。

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(43x+51)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(43x+51)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[43+(51/x)],

=1/{lim(x→∞)[43+(51/x)]},

=1/43。

6、6.求lim(x→0)(sin25x-sin15x)/sin5x.

解态宙：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：

lim(x→0)(sin25x-sin15x)/sin5x

=lim(x→0)2cos20xsin(5x)/sin5x,

=lim(x→0) 2cos20x,

=2cos0=2。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(sin25x-sin15x)/sin5x,

=lim(x→0)(25cos25x-sin15cos15x)/(5cos5x)，

=lim(x→0)(25-15)/5，

=2。

7、7.求lim(x→沃祝近0)(1+9x)^(20/10x)。

解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：

lim(x→0)(1+9x)^(20/10x),

=lim(x→0){[(1+9x)^(1/9x)]}^(20*9/10),

=e^(20*9/10),

=e^18。