导数的定义基本运算几何意义及应用举例D9

1、※.导数的定义应用举例[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).

2、例题:有一机器人的运动方程为s(t)=7t²+19/t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t=6时的瞬时速度为多少？解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：v(t)=s'(t)=(7t²+19/t)',=2*7t-19/t²,当t=6时，有：v(6)=2*7*6-19/6²,v(6)=485/36,所以机器人在时刻t=6时的瞬时速度为485/36。

3、※.导数的基本运算举例例题:已知函数f(x)=-(31/32)x²+47xf'(9600)+9600lnx，求f'(9600)的值。解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。∵f(x)=-(31/32)x²+47xf'(9600)+9600lnx，∴f' (x)=-2*(31/32)x+47f'(9600)+9600/x,则当x=9600时，有:f'(9600)=-2*(31/32)*9600+47f'(9600)+9600/9600,即:-2*(31/32)*9600+46f'(9600)+1=0,所以: f'(9600)= 18599/46.

4、※.导数的几何意义应用举例若曲线y=107x/10-18lnx在x=x₀处的切斜的斜率为30/3,则x₀的值是多少?解：对曲线y进行求导，有：y'=107/10-18/x，根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：107/10-18/x₀=30/3，即：18/x₀=107/10-30/3=7/10,所以x₀=180/7.

5、※.导数解析函数单调性应用举例[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。

6、例题:已知函数f(x)=(x²+23x+186)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。解：对函数求一阶导数有：∵f(x)=(x²+23x+186)/eˣ∴f'(x)=[(2x+23)eˣ-(x²+23x+186)eˣ]/e^(2x),=(2x+23-x²-23x-186)/eˣ,=-(x²+21x+163)/eˣ,对于函数g(x)=x²+21x+163，其判别式为： △=21²-4*163=-211<0, 即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0， 此时:f'(x)= -(x²+21x+163)/eˣ＜0， 所以函数f(x)=(x²+23x+186)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。