刘徽割圆术的过程及思想方法

1、最开始，刘徽说，在圆内作一个内接正六边形，由于内接正六边形的每一条边的长度都等于半径，周长就是半径的六倍，也就是直径的三倍。下图是一个半径为80的圆和它的内接正六边形。

2、但是，很明显，他也发现了我们所发现的问题，“径一周三”是不准确的圆周率。因为圆面积比它所内接的正六边形的面积大得多，周长相比之下圆也长得多。于是他想到，把内接正六边形改为正十二边形，面积间和周长间的差距会小一点。如下图所示，下图是一个半径为80的圆和它的内接正十二边形。

3、以此类推，一次次把正n边形分割成正2n边形，正2n边形的面积与圆的面积相差就越小。刘徽的“割圆术”就是这样来的。“割之弥细，所失弥小。”“割而又割”，当割到不能再割之时，圆和正n边形差别趋近于零，直到两者重合。在现在看来就是采用极限的方法来求圆周率的近似值。

1、刘徽采用的公式是S₂n＜π＜2S₂n-Sn，其中，圆的内接正n边形的面积为Sn，内接正2n边形的面积为S₂n。这个公式是这样来的。

如下图所示，设圆O的半径为1，此时圆O的面积为π。

设AB为圆O的内接正n边形的一边，点C是圆弧⌒AB的中点，连接AC、BC，则AC和BC为圆O的内接正2n边形的两边。

连接OC，以AB为矩形的一边作矩形ABED并使AB的对边DE过点C，则DE是圆弧⌒AB的切线，切点为C。

由此可得

①π＞S₂n

②π＜S₂n+n（S▲ACD+S▲BCE）

∵S▲ACD+S▲BCE=S▲ACB（矩形的对角线分割的两个三角形全等）

∴S₂n+n（S▲ACD+S▲BCE）

=S₂n+nS▲ACB

=S₂n+（S₂n-Sn）

=2S₂n-Sn

∴π＜2S₂n-Sn

综上所述，S₂n＜π＜2S₂n-Sn

即S₂n是π的下限，2S₂n-Sn是π的上限。