数学极限练习题及计算过程举例A16

1、1.求lim(x→0)(15x+19sin3x)/(12x-41sin11x)

解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(15x+19sin3x)/(12x-41sin11x)，

=lim(x→0)(15+19sin3x/x)/(12-41sin11x/x)，

=lim(x→0)(15+57sin3x/3x)/(12-451sin11x/11x)，

=(15+57)/(12-451)，

=-72/439。

2、思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(15x+19sin3x)/(12x-41sin11x)，

=lim(x→0)(15+19*3cos3x)/(12-41*11cos11x)，

=(15+19*3)/(12-41*11)，

=-72/439。

3、2.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(28x+25)。

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(28x+25)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(28x+25)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[28+(25/x)],

=1/{lim(x→∞)[28+(25/x)]},

=1/28。

4、 

3.求lim(x→0)(sin21x-sin37x)/sin8x.

解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：

lim(x→0)(sin21x-sin37x)/sin8x

=lim(x→0)2cos29xsin(-8x)/sin8x,

=lim(x→0) -2cos29x,

=-2cos0=-2。

5、思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(sin21x-sin37x)/sin8x,

=lim(x→0)(21cos21x-sin37cos37x)/(8cos8x)，

=lim(x→0)(21-37)/8，

=-2。

6、4.求lim(x→0)(1+9x)^(24/18x)。

解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：

lim(x→0)(1+9x)^(24/18x),

=lim(x→0){[(1+9x)^(1/9x)]}^(24*9/18),

=e^(24*9/18),

=e^12。

7、5.计算lim(n→∞)(23n²-24)/(29n⁴+17n-12)

解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(23n²-24)/(29n⁴+17n-12)

=lim(n→∞)(23/n-24/n⁴)/(29+17/n³-12/n⁴),

=0。