数学之导数等知识的应用举例
1、例题1：设函数f(x)在x=9处的导数为19，则极限lim(△x→0)[f(9+63△x)-f(9)]/(12△x)的值是多少？
解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为19，其定义为：lim(△x→0)[f(9+△x)-f(9)]/(△x)= 19。
对所求极限进行变形有：
lim(△x→0) 63*[f(9+63△x)-f(9)]/(12*63△x)
=lim(△x→0) (63/12)*[f(9+63△x)-f(9)]/(63△x),
=(63/12)lim(△x→0) [f(9+63△x)-f(9)]/(63△x),
=(63/12)*19,=399/4.
2、例题2:有一物体的运动方程为s(t)=25t²+3/t(t是时间，s是位移)，则该物体在时刻t=3时的瞬时速度为多少？
解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：
v(t)=s'(t)=(25t²+3/t)',
=2*25t-3/t²,
当t=3时，有：
v(3)=2*25*3-3/3²,
v(3)=149/3,所以物体在时刻t=3时的瞬时速度为149/3。
1、例题1：已知函数f(x)=(79x-48)lnx-84x²,求导数f'(1)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。
∵f(x)= (79x-48)lnx-84x²，
∴f'(x)=79lnx+(79x-48)*(1/x)-2*84x
=79lnx+(79x-48)/x-168x.
所以: f'(1)=0+79-48-168=-137.
即为本题所求的值。
2、例题2:已知函数f(x)=-(5/18)x²+43xf'(1800)+1800lnx，求f'(1800)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。
∵f(x)=-(5/18)x²+43xf'(1800)+1800lnx，
∴f' (x)=-2*(5/18)x+43f'(1800)+1800/x,
则当x=1800时，有:
f'(1800)=-2*(5/18)*1800+43f'(1800)+1800/1800,
即:-2*(5/18)*1800+42f'(1800)+1=0,
所以: f'(1800)= 333/14.
1、例题1：求函数f(x)=x(13x+14)³的图像在点(2,f(2))处的切线的斜率k。
[知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。
解：本题对函数求导有：
f' (x)=(13x+14)³+3x(13x+14)²*13
=(13x+14)²*(13x+14+3*13x)
=(13x+14)²*(4*13x+14)
当x=2时，有：
斜率k=f'(2)
=(13*2+14)²*(4*13*2+14)
=1600*118
=188800，即为本题所求的值。
2、例题2：若曲线y=21x/25-7lnx在x=x₀处的切斜的斜率为9/14,则x₀的值是多少?
解：对曲线y进行求导，有：
y'=21/25-7/x，
根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：
21/25-7/x₀=9/14，
即：7/x₀=21/25-9/14=69/350,
所以x₀=2450/69.
1、例题1:已知函数f(x)=-28lnx+29x²/26+80，计算函数f(x)的单调递减区间。
解：对函数进行求导，有：
∵f(x)=- 28lnx+29x²/26+80
∴f'(x)=- 28/x+2*29x/26，
本题要求函数的单调减区间，则：
-28/x+2*29x/26＜0，
(-28*26+2*29x²)/(26x)＜0，
2、又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.
故不等式解集等同于：
2*29x²＜28*26，
即：x²＜364/29,
所以解集为：(0,(2/29)*√2639).
3、例题2:已知函数f(x)=(x²+5x+44)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。
解：对函数求一阶导数有：
∵f(x)=(x²+5x+44)/eˣ
∴f'(x)=[(2x+5)eˣ-(x²+5x+44)eˣ]/e^(2x),
=(2x+5-x²-5x-44)/eˣ,
=-(x²+3x+39)/eˣ,
4、对于函数g(x)=x²+3x+39，其判别式为：
△=3²-4*39=-147<0,
即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0，
此时:f'(x)= -(x²+3x+39)/eˣ＜0，
所以函数f(x)=(x²+5x+44)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。