y=(x^3+10x^2).(x-1)^2的图像示意图

1、通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性及极限，并用直角坐标系五点图法，介绍画函数y=(x^3+10x^2)/(x-1)^2示意图的主要步骤。

2、函数的单调性

∵y=(x^3+10x^2)/(x-1)^2

∴dy/dx

=[(3x^2+20x)(x-1)^2-2(x-1)(x^3+10x^2)]/(x-1)^4

=[(3x^2+20x)(x-1)-2(x^3+10x^2)]/(x-1)^3

=x[(3x+20)(x-1)-2(x^2+10x)]/(x-1)^3

=x(x^2-3x-20)/(x-1)^3

3、令dy/dx=0，则x1=0或x^2-3x-20=0.

当x^2-3x-20=0时，有：

x2=(3-√89)/2，x3=(3+√89)/2.

(1).当x∈((3-√89)/2,0), (1,(3+√89)/2]时，

dy/dx＜0，此时函数y为减函数；

(2).当x∈(-∞，(3-√89)/2],[0,1),((3+√89)/2，+∞)时，

dy/dx＞0，此时函数y为增函数。

4、∵dy/dx=(x^3-3x^2-20x)/(x-1)^3

∴d^2y/dx^2

=[(3x^2-6x-20)(x-1)^3-3(x^3-3x^2-20x)(x-1)^2]/(x-1)^6

=[(3x^2-6x-20)(x-1)-3(x^3-3x^2-20x)]/(x-1)^4

=(46x+20)/(x-1)^4

=2(23x+10)/(x-1)^4  

5、令d^2y/dx^2=0,则：

则: 23x+10=0，即x=-10/23.

(1).当x∈(-∞，-10/23)时，d^2y/dx^2＜0，

此时函数y为凸函数；

(2).当x∈(-10/23,1)∪(1，+∞)时，

d^2y/dx^2＞0，此时函数y为凹函数。

6、x-7.21-6.21-5.21-4.21-3.21

y2.1512.8113.3713.7803.947

x-3.21-1.82-0.43-0.210

y3.9473.4070.8650.2940

7、x00.10.20.30.4

y00.1240.6371.8914.622

x23.054.105.156.21

y4828.8824.6623.3323.02

x6.216.416.616.817.01

y23.0223.0323.0523.0923.14

8、综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，函数的示意图如下：