三角形分割问题举例
三角形的分割问题，是拓扑学和几何学里面一个比较重要的题目。
这里就细说一下这个题目里面比较简单的几个小问题以及部分结论。
工具/原料
电脑
几何画板（或者z+z超级画板）
第一个问题：分割成锐角三角形
一个钝角三角形能不能分割成若干个锐角三角形？
我最先看到这个问题，是在Matrix67的博客里，所以，这里的主要内容，都是转述Matrix67的博客里的内容。
这个题目首次刊登在1960年的《美国数学月刊》的3月份期刊上，并且于同年的11月由美国的一个数学教师Manheimer得到一个解答——任意钝角三角形可以分割成七个锐角三角形：
假设▲BAC是钝角三角形，A是钝角，内接圆是⊙I；
线段BI、CI交⊙I于M、N；
过M、N作⊙I的切线，与▲BAC的边交于D、E、F、G；
连结IA、ID、IE、IF、IG；
那么图中就有七个锐角三角形，分别是▲AID、▲DIE、▲EIF、▲FIG、▲GIA、▲BDE、▲CFG。
问题：一个钝角三角形能分割成n个锐角三角形，那么n的最小值是7吗？
一个钝角三角形能否分割成若干个等腰锐角三角形？答案是可以，分割的步骤如下：
给出钝角三角形BCP，∠BCP是钝角，BC<CP；
在BP上取一点A，使得PA=PC；
此时容易证明：∠CAB-∠ABC和∠CAB-∠ACB都小于90°；
以▲BCA的内心I为圆心、IA为半径作圆，与▲BCA的各边交于D、E、F、G；
连接CA、IA、ID、IE、IF、IG；
此时▲PAC、▲AID、▲DIE、▲EIF、▲FIG、▲GIA、▲BDE、▲CFG都是等腰锐角三角形。
于是可以说明，任意钝角三角形都可以分割成8个等腰锐角三角形。
问题：如果任意钝角三角形都可以分割成n个等腰锐角三角形，那么n的最小值是不是8？
第二个问题：分割成全等三角形
任意一个三角形可以分割成多少个全等三角形？
第一个答案肯定是4个，只需要连接三角形三边的中点就有了。
第二个答案是9个，把三角形三边都三等分；
以此类推，答案可以是1+3,1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9,……
是否存在能分割成五个全等的小三角形的三角形？
这里有一个现成的答案，如图，直角三角形ABC，角A是直角，AB：AC=1：2，那么它就可以分割成五个全等的小三角形。
问题：除了这个情况，还有没有别的情形的三角形，也能分割成五个全等三角形？
是否存在能分割成三个全等的小三角形的三角形？
是否存在能分割成六个全等的小三角形的三角形？
显然，正三角形满足这两个要求，有一个内角是60°的直角三角形满足第一个条件。事实上，能够满足第一个条件的三角形只有正三角形和有60°角的直角三角形，你能证明吗？
问题：除了正三角形能分割成六个全等的小三角形以外，还存在别的满足要求的三角形吗？
是否存在能分割成七个全等的小三角形的三角形？
这是一个难题，最早是由单墫提出来的，至今没有获得解答。有兴趣的读者不妨试试。
第三个问题：分割后重新拼接
这个问题之下，比较有趣的一个小问题是：正三角形分割成n块，要求这n块可以拼接出一个正方形！
目前，可以确定，n的最小值不会大于4。n=4的分割方法是由英国数学家Henry Ernest Dudeney提出来的，他的揭解法如下：
令G、F为所在边的中点，H在BF延长线上，FH=AC/2；
以BH为直径作圆，与AC延长线交于J；
在AB上取两个点D、E，使FD=FJ、DE=AC/2；
分别过G、E作关于DF的垂线段GM、EN。
这样，就把正三角形ABC分成了四块。
问题a：能不能证明，n的最小值等于4？
问题b：如果n=5，你能否找出至少五种分割方法？
注意事项
留几个问题，看看大家能不能解答出来：
一个钝角三角形能分割成n个锐角三角形，那么n的最小值是7吗？
如果任意钝角三角形都可以分割成n个等腰锐角三角形，那么n的最小值是不是8？
除了两个短边比值是1：2的直角三角形以外，还有没有别的情形的三角形，也能分割成五个全等三角形？
能够分割成三个全等的小三角形的三角形，只有正三角形和有60°角的直角三角形，你能证明吗？
除了正三角形能分割成六个全等的小三角形以外，还存在别的满足要求的三角形吗？
正三角形分割成n块，要求这n块可以拼接出一个正方形，那么能不能证明，n的最小值等于4？
正三角形分割成5块，要求这5块可以拼接出一个正方形，你能否找出至少五种分割方法？
大难题：是否存在能分割成七个全等的小三角形的三角形？