当a+33b=9时介绍多种方法计算ab最大值步骤

1、本题主要内容。

2、思路一：直接代入法根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。ab=a(3/11-1/33*a)=-1/33*a^2+3/11*a=-1/33(a-9/2)^2+27/44，则当a=9/2时，ab有最大值为27/44。

3、思路二：判别式法设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。a+33b=9,a+33p/a=9,a^2-9a+33p=0,对a的二次方程有：判别式△=81-132p≥0,即：p≤27/44,此时得ab=p的最大值=27/44。

4、思路三：三角换元法将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。由a+33b=9，要求ab的最大值，不妨滤鲇魍童设a，b均为正数，设a=9(cost)^2，33b=9(sint)^2，则：a=9(cost)^2,b=3/11(sint)^2,代入得：ab=9(cost)^2*3/11(sint)^2,=27/44*(sin2t)^2,当sin2t=±1时，ab有最大值=27/44。

5、思路四：中值代换法设a=9/2+t,33b=9/2-t，则：a=(9/2+t),b=(1/33)(9/2-t)此时有：ab=1/33*(9/2+t)*(9/2-t)=1/33*(81/4-t^2)。当t=0时，即：ab≤27/44,则ab的最大值为27/44。

6、思路五：不等式法当a，b均为正数时，则：∵a+33b≥2√33*ab,∴(a+33b)^2≥132*ab,81≥132*ab,即：ab≤27/44,则ab的最大值为27/44。

7、思路六：数形几何法如图，设直线a+33b=9上的任意一点P(a0,b0),op与x轴的夹角为θ，则： a0+33b0=9,b0=a0tanθ, a0+33a0tanθ=9，得a0=9/(1+33tanθ), |a0*b0|=81*|tanθ|/(1+33tanθ)^2,=81/[(1/|tanθ|)+66+1089|tanθ|]≤81/(66+66)=27/44。则ab的最大值=27/44.

8、思路七:构造函数法设函数f(a,b)=ab-λ(a+33b-9),则偏导数f'a=b-λ,f'b=a-33λ,f'λ=a+33b-9。令f'a=f'b=f'λ=0，则：b=λ,a=33λ。进一步代入得：33λ+33λ=9,即λ=3/22.则有a=9/2,b=3/22.ab的最大值=9/2*3/22=27/44。