分式函数y=1.(x^2-2)的图像

1、因为函数分母中含有自变量，所有要求分母不为0，进而求出定 义域。

∵ x2 - 2 ≠ 0

∴ x2 ≠ 2

x ≠ ± √2 ≈ ± 1.41

则函数的定义域为：

(-∞ , - √2 ) ∪ ( - √2 ， + √2 ) ∪ ( + √2 , +∞）

2、 通过函数的一阶导数，求出函数的单调区间。

∵ y = ( x2 - 2 ) -1

∴ y' = - ( x2 - 2 ) -2 * 2 x

= - 2 x ( x2 - 2 ) -2

令y'=0，则：

x= 0；

结合定义域，则函数的单调性如下：

 (1). 当 x ∈ (-∞ , - √2 ) ∪ ( - √2 ， 0 ) 时 ，

0

y' >0,此时函数为单调增函数，则区间为增区间。

 (2). 当 x ∈ ( 0 , + √2 ) ∪ ( + √2 , +∞ ) 时 ，

0 0

y' <0,此时函数为单调减函数，则区间为减区间。

3、当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值f(x)也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性。

4、函数极限，函数的极值及在无穷大处的极限：

5、函数的凸凹性，通过函数的二阶导数，解析函数的凸凹区间。

∵ y' = - 2 x ( x2 - 2 )-2

∴ y” = - 2 ( x2 - 2 ) -2 + 8 x2 ( x2 - 2 )-3

= 2( x2 - 2 )-3 * （ 3 x2 + 2 ）

结合函数定义域，则：

 (1). 当 x ∈ (- ∞ , - √2 ) ∪( + √2 ， + ∞ ) 时 ，

y” >0,此时函数为凹函数，则区间为凹区间。

 (2). 当 x ∈ (- √2 ， √2 ) 时 ，

y” <0,此时函数为凸函数，则区间为凸区间。

6、判断函数的奇偶性，确定其对称性。

7、函数的部分点解析表，函数上部分点列表如下：

8、综合以上函数的性质，函数的示意图如下：