怎么用Mathematica处理高次方程的韦达定理？

1、考虑第一题，看看Mathematica怎么暴力求出方程的三个解：

解 = Solve[x^3 + 4 x^2 + 5 x - 8 == 0, x] // Values // Flatten

Mathematica确实可以算出方程的解。

2、然而，最后的结果会靠谱吗？

FullSimplify[Times @@ ((x - 2/(# + 2)) & /@ 解)] // Expand

得到的答案是：

5x^3-x^2+4x-4=0

不管结论是否靠谱，但考虑这个过程的数值计算，就是很费时间的。

3、我们再从另一种角度，来解答这个问题。

不要去解方程，注意到所求的新方程的三个解的形式是一样的，因此可以作一个简单的变量代换：

4、还可以套用韦达定理：

Collect[Factor[

    Times @@ ((x - 2/(# + 2)) & /@ {α,β,γ})] // 

   Numerator // Expand, x^3]

这里得到的，是一个用α,β,γ表示的关于x的三次方程，再根据三次方程的韦达定理，可以求出α+β+γ、αβ+βγ+αγ、αβγ的值，代入到上面得到的方程里面，就可以得到答案。

1、第二题，可以把1/α^5+1/β^5+1/γ^5用α+β+γ、αβ+βγ+αγ、αβγ表示出来，当然，这一点手工计算仍旧很难。

但是我目前没找到更好的方法。

2、第二题还有一个更暴力的方法，就是直接解方程：

jie = Solve[4 x^3 + 3 x^2 + 2 x + 1 == 0, x] // Values // Flatten;

1/#^5 & /@ jie // Total // FullSimplify

3、第三题的解法，和第二题差不多，没找到简单解法：

Eliminate[{f == (u - v) (v - w) (w - u), a == u + v + w, 

  b == u v + u w + v w, c == u v w}, {u, v, w}]

4、第四题，我们可以和第一题进行对比观察：

5、第五题和二、三题的方法相似：

Eliminate[{f == u/v + v/w + w/u, -2 == u + v + w, 

  3 == u v + u w + v w, -4 == u v w}, {u, v, w}]

6、第六题比较特殊：

Collect[(x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + 

       d /. {x -> 1 + Sqrt[2] + Sqrt[3]} // Expand) /. {Sqrt[2] -> x, 

    Sqrt[3] -> y, Sqrt[6] -> z}, {x, y, z}] /. {x -> Sqrt[2], 

  y -> Sqrt[3], z -> Sqrt[6]}