绘制光滑曲线的切向量和法向量的方法

1、绘制曲线：

f[x_] :={5 Cos[x], 4 Sin[x]}

ParametricPlot[{f[x]}, {x, 0, 2 Pi}]

2、其实，每个点的切向量，都可以表示为：

g=D[f[x],x]

下面看一个互动效果：

Manipulate[Show[

ParametricPlot[{f[x]}, {x, 0, 2 Pi}], 

  Graphics[{Arrow[{f[t], f[t] + g /. x -> t}]}]],

 {t, 0, 2 Pi}]

3、规范切向量的长度：

Manipulate[

 Show[ParametricPlot[{f[x]}, {x, 0, 2 Pi}], 

  Graphics[{Arrow[{f[t], 

      f[t] + Normalize@D[f[x], x] /. x -> t}]}]], {t, 0, 2 Pi}]

4、看一个动态图。

Manipulate[

 Show[ParametricPlot[{f[x]}, {x, 0, 2 Pi}], 

  Graphics[{ Table[Arrow[{f[t], 

       f[t] + Normalize@g/. x -> t}], {t, 0, u,Pi/10}]}]],

{u, 0.02, 2 Pi, 2 Pi/100}]

5、对单位切向量求导，就是曲线的法向量：

h[x_]:= FullSimplify[Normalize@g, Refine[Element[x, Reals]]]

把单位切向量和单位法向量都画出来：

Manipulate[

 Show[ParametricPlot[{f[x]}, {x, 0, 2 Pi}], 

  Graphics[{Arrow[{f[t], f[t] + Normalize@g /. x -> t}], 

    Arrow[{f[t], f[t] - Normalize@D[h[x], x] /. x -> t}]}], 

{t, 0.02, 2 Pi}]

6、等距曲线：

到已知曲线上的最短距离为定值的曲线。

g = FullSimplify[Normalize@D[f[u], u], Refine[Element[u, Reals]]];

Manipulate[

 Show[ParametricPlot[{f[x], f[x] - Normalize@D[g, u] /. u -> x}, {x, 0, 2 Pi}], 

  Graphics[{

    Arrow[{f[t], f[t] + Normalize@D[f[x], x] /. x -> t}],

    Arrow[{f[t], f[t] - Normalize@D[g ,u] /. u -> t}]}]],

 {t, 0.02, 2 Pi}]

7、等距曲线，当等距为3的时候，有下图做演示。

8、如果法向量指向反方向呢？

9、当等距大于4的时候，就只有一条等距曲线了。

下面分别是等距为5和4.36的情形。