平均值不等式是

n个正数的算术平均值跤耧锿葡与几何平均值的比较。

设

为n个正数，则其算术平均值不小于其几何平均值，即

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设函数D(r)=^(1/r）（当r不等于0时）；

（a1a2...an)^(1/n）（当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n））

则当注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1）≤D(0）≤D⑴≤D⑵

由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√［(a^2+b^2)/2]

均值定理的证明：因为a〉0，b〉0所以a+b/2 -√ab = a+b-2√ab/2 = (√a-√b)^2/2≥0

即a+b/2≥√ab.当且仅当√a=√b ,等号成立。