三维不等式柯西定理应用举例详解A19

本文介绍三维不等式柯西定理及其证明，并通过四个例子来详细说明该不等式的数学实际应用。

定理公式

1、三维不等式柯西定理：(p₁²+p₂²+p₃²)(q₁²+q₂²+q₃²)≥(p₁q₁+p₂q₂+p₃q₃)²。

定理证明：

1、证明：定义函数f(x)为:f(x)=猾诮沓靥(p₁+q₁x)²+(p₂+q₂x)²,将f(x)转化为二元函数的标准形式y=ax²+bx+c得f(x)=(q₁²+q₂²)x²+2(p₁q₁敫苻匈酃+p₂q₂)x+(p₁²+p₂²)因为f(x)≥0，所以它只有一个解或无解，即Δ=4(p₁q₁+p₂q₂)²−4(q₁²+q₂²)(p₁²+p₂²)≤0所以: (q₁²+q₂²)(p₁²+p₂²)≥(p₁q₁+p₂q₂)².令函数f(x)=0，则每个平方项都必须为0，即p₁+q₁x=0⇒x=−p₁/q₁,p₂+q₂x=0⇒x=−p₂/q₂;则要使函数有零点，即Δ=0,则必须有：p₁/q₁=p₂/q₂,证毕。

例题1应用举例

1、※.若正数a,b,c,x,y,z满足a²+b²+c²=120,x²+y²+z²=129,求ax+by+cz的最小值。解：直接使用上述柯西三维不等式有：(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²,代入数值即可得：120*129≥(ax+by+cz)²,即：(ax+by+cz)²≤15480,由于所有变量均为正数，则：ax+by+cz≤2√3870，所以ax+by+cz的最小值为：2√3870.

例题2应用举例

1、※.若正数x,y,z满足x²+y²+z²=72,求x+y+z的最小值。解：使用柯西三维不等式有：(x²+y²+z²) (a²+b²+c²)≥(x+y+z)², 即：(x²+y²+z²) (1²+1²+1²)≥(x+y+z)²，则：72*3≥(x+y+z)²,进一步有：(x+y+z)²≤216，所以正数x+y+z的最小值=6√6。

例题3应用举例

1、※.若a+b+c=142,求400a²+16b²+121c²的最小值。解：使用上述不等式，出现和的平方，即已知条件转换为不殪讧唁跬等式右边和的平方，则所求代数式需要变形成两个三项式平方和的乘积。400a²+16b²+121c²=(20a)²+(4b)²+(11c)²进一步变形为：[(20a)²+(4b)²+(11c)²][(1/20)²+(1/4)²+(1/11)²]，≥[(20a/20)+(4b /4)+(11c/11)]²，=(a+b+c)²=142²，即：(400a²+16b²+121c²)*(394*12²/880²)≥142²，所以：400a²+16b²+121c²≥(1/394)*(31240/3)²。

例题4应用举例

1、※.若4x+22y+23z=144,求x²+y²+z²的最小值。解：运用三维柯西不等式，有：(x²+y²+z²)(4²+22²+23²)≥(4x+22y+23z)²,即：(x²+y²+z²)(4²+22²+23²)≥144²,(x²+y²+z²)*1029≥144²,x²+y²+z²≥144²/(1029),即：x²+y²+z²≥6912/343,所以x²+y²+z²的最小值=6912/343。