如何比较函数y1=√x和函数y2=lnx^x的大小

1、如何比较函数y1=√x和函数y2=lnx^x在区间[1/2,1]上的大小。

解答：

   分别对函数进行研究：

   函数y1=√x，求导得到：

   y1’=1/2√x

∵1/2<=x<=1

∴x>0,则有y1’>0,即函数y1在区间[1/2,1]上为增函数，所以：

   y1min=y1(x=1/2)=√（1/2）=√2/2.

2、函数y2=lnx^x=xlnx,求导得到：

y2’=lnx+x*(1/x)=lnx+1

∵1/2<=x<=1

∴ln(1/2)<=lnx<=ln1

即-ln2<=lnx<=0

1-ln2<=lnx+1<=1.

又∵2<e,

∴ln2<lne=1

则：1-ln2>0

因此y2’在区间[1/2,1]上有:y2’>0.

则函数y2在区间上为增函数，故：

y2max<=y2(x=1)=ln1^1=ln1=0.

3、根据题意:

    y2的函数的最大值=0，

y1函数的最小值=√2/2,

y1的最小值大于y2的最大值，

所以有：函数y1>y2.