【几何问题】二倍线段和二倍角问题一则

1、设∠ADB=u，∠ACB=v，BD=1。那么AD和DE可以用u和v表示出来。

2、在△ADE里面使用正弦定理，AD/DE-Sin[2 v]/Sin[u+2 v]==0，用Mathematica可以分解这个关系式：

tt=TrigFactor[AD/DE-Sin[2 v]/Sin[u+2 v]]

因为Csc[u-v]、Csc[u+2 v]、Sin[v]都不等于0，所以只能是：

Sin[u+2v]-Sin[u-2v]-Sin[u]==0

3、上面这个式子还可以进一步化简：

FullSimplify[tt[[4]]/Cos[u]==0]

结果是：

2Sin[2 v]==Tan[u]

4、步骤3的结论，转化为等价的几何关系是：

AD^2=4BE*BC。

5、假设AC的中点为F，那么，步骤4里面的结论可以变为：

BF^2=BE*BC。

这直接导致一个结论：

BE=EF。

6、在△AED里面，根据余弦定理，可以算出AD的长度：

AD=Simplify[Sqrt[4-4Cot[v]Tan[u]+Csc[v]^2 Tan[u]^2] 

再次结合步骤3里面的结论，有：

AD=Simplify[AD/.Tan[u]->2Sin[2 v]]

也就是，AD=2BE。