用Mathematica研究曲面的第一基本形式

1、给出一个曲面的参数方程，绘制图形：

r[u_, v_] := {Sin[u], Cos[u + v], Sin[v]}

2、在曲面上画一条曲线：

ParametricPlot3D[r[u, v] /. {u -> 5 t, v -> 6 t}, {t, 0, 2 Pi}, 

 PlotStyle -> Blue]

图中的蓝色曲线，就是我们做出来的曲线。

3、计算这条曲线的长度：

ArcLength[r[u, v] /. {u -> 5 t, v -> 6 t}, {t, 0, 2 Pi}]

这是一个关于t的定积分。

4、曲面r[u,v]上面的曲线r[u[t],v[t]]的周长都可以表示为关于t的定积分：

(-t0 + t1)*Sqrt[(2*du*dv*Subscript[r, u] . Subscript[r, v])/dt^2 + (du^2*Subscript[r, u]^2)/dt^2 + 

   (dv^2*Subscript[r, v]^2)/dt^2]

5、如果进行下图的代换，就可以得到曲面的第一基本形式。

6、求出球面的第一基本形式：

r[u_, v_] := {R Cos[u] Cos[v], R Cos[u] Sin[v], R Sin[u]}

7、求正螺面的第一基本形式：

r[u_, v_] := {u Cos[v], u Sin[v], a v}