怎么理解Malfatti问题

1、       内容：

       在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切。

       这个著名的问题是数学家Malfatti于1803年提出并解答的。满足要求的三个圆，称为该三角形的Malfatti圆。

2、       背景：

       事实上，这个问题源自于一个面积优化问题：用给定的三角形材料，截取三个面积之和最大的圆。Malfatti本人以为，Malfatti圆的面积之和是最大的。然而，Zalgaller和Los于1992年成功解决，否定了Malfatti的猜测。

3、       尺规作图法：

       目前，最好的解法是由Jakob Steiner于1826年给出的尺规作图法：

       作△ABC的三条角平分线，定出内心I；

       作△IBC、△ICA、△IAB的内切圆，每两个圆已有一条内公切线（分别为IC、IB、IA），再作另一条内公切线OP、QR、ST；

       最后作圆与AB、AC、OP相切，作圆与AB、BC、QR相切，作圆与BC、CA、ST相切。

       这三个圆就是Malfatti圆。

4、       证明：

       Steiner没有给出具体的证明过程。这一点，在1865年被爱尔兰数学家Andrew Hart弥补。他的证明过程可以参考《马尔法蒂问题》（自行百度）、《Malfatti's Problem.PDF》（可以用PDF阅读器浏览）。

5、       代数解法：

       参考《三个圆内切一个三角形》，或《Malfatti Circles》。

6、       扩展：

       Malfatti点，是根据Malfatti圆衍生而来的、关于三角形的特定的点。具体的内容，参考《Ajima-Malfatti Points》，或者《三个圆内切一个三角形》。

7、       推广：

       六圆定理内容是：过三角形的两边L1、L2作切圆O1，再过L2、L3、O1作切圆O2，依次作切圆O3、O4、O5、O6，那么O6与O1相切。