两种方法计算含有xy乘积的函数最小值举例F15

1、      问题由来:若实数x,y满足W(x,y)=401x²-40xy+y²-18y+388x+271,则w的最小值是多少？

2、※.配方法求解

   运用配方法将W(x,y)=401x²-40xy+y²-18y+388x+271变形为W(x,y)=(ax+by+c)²+(dx+e)²-f形式，然后根据非负数的性质求出 的最小值即可．

  解：W(x,y)=401x²-40xy+y-18y²+388x+271

=400x²-40xy+y+360x-18y²+81+x²²+28x+196-6

=(20x-y)²+18(20x-y)+81+(x+14)²-6

=(20x-y+9)²+(x+14)²-6

3、∵x,y为实数，

∴(20x-y+9)²≥0，(x+14)²≥0,

此时x=-14，y=-271,

∴W的最小值为：Wmin=-6.

4、※.导数法求解

W(x,y)=401x²-40xy+y²-18y+388x+271，求出W分别对变量x,y的偏导数，由偏导数同时为0来求出多元函数W的最小值。

W|x’=802x-40y+388,

W|y’=-40x+2y-18;

令W|x’=W|y’=0，则：

40y-802x=388,

2y-40x=18.

解二元一次方程组，有：

x=-14,y=-271;

5、此时将x,y代入到W表达式中，有：

Wmin=W(-14,-271)

=401*(-14)²-40*(-14)*(-271)+(-271)²

²-18*(-271)+388*(-14)+271,

=78596-151760+73441--4878+(-5432)+271,

=-6.