初等函数在定义域内一定连续吗

不一定。

例如初等函数f(x)=1/x，这个函数的原函数F(x)=ln|x|+c(c是任意常数)，在x=0点处就不连续。x=0点处没有定义。但是这种间断点是因为没有定义的间断点，属于定义域不连续导致的函数不连续，而在定义域内是连续的。

初等函数本身并不是连续函数，如f(x)=1/x这样初等函数也是有间断点x=0的。但是初等函数的间断点是因为定义域不连续导致的间断点。在定义域内部是不会存在间断点的。

连续函数的其他性质

1、在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

2、连续单调递增（递减）函数的反函数，也连续单调递增（递减）。

3、连续函数的复合函数是连续的。

4、一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。