含π+α诱导类型三角函数的不定积分

本经验介绍含π+α诱导类型三角函数的不定积分，即求∫sin(π陴鲰芹茯+α)dα，∫cos(π+α)dα，∫tan（π+α)dα，∫cot(π+α）dα，∫sec(π+α)dα，∫csc(嗝搜肠怵π+α)dα的步骤。

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三角函数基本知识

不定积分基本知识

1.含π+α三角函数的诱导公式

1、sin(π+α)=-sin αcos(π+α)=-cos αtan(π+α)=tan αcot(π+α)=cot αsec(π+α)=-sec αcsc(π+α)=-csc α

2、图例解析如下：

2.sin(π+α)的不定积分

1、∫sin(π+α)dα=∫sin(π+α)d(π+α)=-cos(π+α)+c=cosα+c

2、图例解析如下：

3.cos(π+α)的不定积分

1、∫cos(π+α)dα=∫cos(π+α)d(π+α)=sina(π+α)+c=-sinα+c

2、图例解析如下：

4.tan(π+α)的不定积分

1、∫tan(π+α)dα=旮槽怨腊∫[sin(π+α) d(π+α)/ cos(π+α)]=-∫d cos(π+α)/cos(π+α)=-ln|cos(π+α)|+c=-ln|cosα|+c

2、图例解析如下：

5.cot(π+α)的不定积分

1、∫cot(π+α)dα=∫[cos(π+α) d(π+α)/ sin(π+α)]=∫d sin(π+α)/sin(π+α)=ln|sin(π+α)|+c=ln|sinα|+c

2、图例解析如下：

6.sec(π+α)的不定积分

1、∫sec(π+α)dα=旮槽怨腊∫dα/ cos(π+α)=∫d(π+α)/ cos(π+α)=∫cos(π+α)d(π+α)/ [cos(π+α)]^2=∫dsin(π+α)/ {1-[sin(π+α)]^2}=∫dsin(π+α)/ {[1-sin(π+α)][1+ sin(π+α)]}=(1/2){∫dsin(π+α)/ [1-sin(π+α)]+∫dsin(π+α)/ [1+sin(π+α)]}=(1/2)ln{[1+sin(π+α)]/ [1-sin(π+α)]}+c=(1/2)ln[(1-sinα)/(1+sinα)]+c=(1/2)ln[(1-sinα)^2/(cosα)^2]+c=ln|(1-sinα)/cosα|+c=ln|secα-tanα|+c

2、图例解析如下：

7.csc(π+α)的不定积分

1、∫csc(π+α)dα=旮槽怨腊∫dα/ sin(π+α)=∫d(π+α)/ sin(π+α)=∫sin(π+α)d(π+α)/ [sin(π+α)]^2=-∫dcos(π+α)/ {1-[cos(π+α)]^2}=-∫dcos(π+α)/ {[1-cos(π+α)][1+ cos(π+α)]}=-(1/2){∫dcos(π+α)/ [1-cos(π+α)]+∫dcos(π+α)/ [1+cos(π+α)]}=-(1/2)ln{[1+cos(π+α)]/ [1-cos(π+α)]}+c=-(1/2)ln[(1-cosα)/(1+cosα)]+c=-(1/2)ln[(1-cosα)^2/(sinα)^2]+c=-ln|(1-cosα)/sinα|+c=-ln|cscα-cotα|+c

2、图例解析如下：