【抽象代数】简单介绍群的不变型

1、我们在之前的文章里面，给出了正四面体群的一个三维矩阵表示。

2、我们来构造一个型：

f[x_,y_]:=x.p.y

其中，p=RandomInteger[9,{3,3}]是一个3*3的矩阵，x和y是三维向量。

3、给出两个向量，求这个型的值：

u={5,6,-7};

v={-3,-2,-5};

f[u,v]

4、群G的第一个元素作用于这个型：

q=G[[1]];

f[q.u,q.v]

结果变了，这说明f不是群不变型。

5、群所有元素，分别作用于f，得到12个结果。把这些结果求和：

Total[f[#.u,#.v]&/@G]

6、下面，我们证明，这个和是G不变型：

g[x_,y_]:=Total[f[#.x,#.y]&/@G] 

Union[g[#.u,#.v]==g[u,v]&/@G]