【抽象代数】一个有理数域和整数环的互动问题

1、因为2a和2b都是整数，所以，a和b可以是整数，也可以是半整数。

那么2ab或为整数，或为半整数，进而说明4cd是整数或者半整数。

进而得出下面的结论。

2、上面这八种情形，可以用一种形式表示出来。

3、当a和b是整数时，a^2-5b^2也是整数，所以2c^2-10d^2也是整数。

下图给定的x和y都是奇数，所以，u和v应该相等。

4、当a是整数，b是半整数，那么a^2-5b^2=Z-1/4，所以2c^2-10d^2应该是Z+1/4的形式。

于是也有u和v相等的结论。

5、当a是半整数，b是整数，那么a^2-5b^2=Z+1/4，所以2c^2-10d^2应该是Z-1/4的形式。

这时候也有u和v相等的结论。

6、当a和b是半整数时，a^2-5b^2是整数，所以2c^2-10d^2也是整数。

所以，u和v应该相等。

进一步，由u+v<3，可以说明u=v=0或1。

7、因为u和v相等，且只能等于0或1，所以，2c和2d是整数，且c-d是整数。

这说明，c和d要么都是整数，要么都是半整数。

所以，2c^2-10d^2是整数，

所以，a^2-5b^2是整数，

这说明，a和b要么都是整数，要么都是半整数。

但是注意，如果a和b都是半整数，那么，2ab是半整数，4cd是整数，这样的话，2ab-4cd就不是整数，与给定的条件矛盾。

所以，a和b都是整数。