画复合分式函数y=(x³-5)/(x+1)³图像的主要步骤

本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，介绍函数用导数工具画函数y=(x³-5)/(x+1)³的图像的主要步骤。

函数的定义域

1、函数是分式函数，根据函数特征，分母应不为0。

2、 形如y=f(x)，则x是自变量，它代表着函数图像上每一点的横坐标，自变量的取值范围就是函数的定义域。f是对应法则的代表，它可以由f(x)的解析式决定。

函数的单调性

1、通过函数的一阶导数，根据导数的符号，判断函数单调性。

2、 函数的单调性也叫函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义辨泔矣嚣区间内增大(或减小)时，函数值f(x)也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性。

函数的凸凹性

1、再次计算一阶导数的导数，即通过函数的二阶导数，计算出函数的拐点，进而求出函数的凸凹区间。

2、拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分拦轮遛侦界点）。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。

函数的极值

1、判断函数在端点处的极限：

函数的五点图

1、根据函数单调性、凸凹性，并结合函数的定义域，列举函数上部分特征点坐标。

2、函数上部分点坐标的解析，是通过二维坐标系画函数图像的关键步骤。

3、综合以上函数的定义域、单调性、凸凹性、极限性质，并结合函数的定义区间和单调、凸凹区间，即可画出函数的示意图如下：