设h和k是群g的两个有限子群.证明:|hk|×|h∩k|=|h|×|k|

设出H关于H交K的左陪集分解式，证明K在HK中的左陪集代表系可以与H交K在H中的代表系相同。然后分别计算H与HK的阶。

置换群是群论历史上最先知道的一种具体的群。拉格朗日和高斯在研究数论中的二次型类是出现过交换群的概念；Cayley（凯莱）曾经在1849年提出过抽象群，但这个概念的价值当时没有被认识到，远远超越时代的Dedekind（戴德金）在1858年给有限群下了一个抽象的定义。

以及群表示论等等，都是重要的研究对象，总之，其内容十分丰富而且庞大。

有限群的研究起源很早，其形成时期是与柯西、拉格朗日、高斯、阿贝尔以及后来的伽罗瓦、若尔当等人的名字相联系的。1829年伽罗瓦（Galois）引入了置换群的概念，并成功地解决了一个方程可用根式求解的充要条件。