【微分几何】把整个平面装到单位圆里面

1、网友初中生LJH提供的变换函数很简单：

suo[x_] := x/(1 + Sqrt[x.x])

x是平面上的点的坐标。

下图的蓝色曲线是平面上直线变换之后的图像：

平面上直线的参数方程是{u, u + 1};

变换之后的图形的参数方程是{u/(1 + Sqrt[1 + 2 u (1 + u)]), (1 + u)/(1 + Sqrt[1 + 2 u (1 + u)])}；

把直线变成了二次曲线。

2、把原来的直线也画出来：

3、两条平行线是不相交的，或者说相较于无限远点。在变换之后的图形里面，可以体现的更明显。如图，两条平行线(y=x±1)变换之后，无限远点变换为相同的位置。

4、不同方向的直线对应不同的无限远点。

5、一组平行线变换之后，平行线上无限远点的图像变换到了单位圆的圆周上。

平行线的参数方程是：

{u, u + #} & /@ Range[-1, 1, 0.1];

6、下图是一个动画效果，体现的是不同方向的平行线变换之后的结果。