导数画分数函数y=4/(x^2+4)图像的步骤

1、函数的定义域，结合分式函数的性质，分析求解函数的定义域。

自变量在分母，根据函数特征，自变量x可以取全体实数，即函数y=4/(x^2+4)的定义域为：（-∞，+∞）。

2、函数的单调性，通过函数的一阶导数，求出函数y=4/(x^2+4)的单调区间。

3、  y=4/(x^2+4)，分母y1=x^2+4，为二次函数，图像关于y轴对称，开口向上，

当x≥0时，y1函数为增函数，当x＜0时，y1函数为减函数，

再取倒数时，则函数单调性相反，即：

当x≥0时，y函数为减函数，当x＜0时，y函数为增函数。

4、函数极值与极限，函数y=4/(x^2+4)的最大值和无穷端点处的极限。

5、函数y=4/(x^2+4)的凸凹性，通过函数的二阶导数，解析函数的凸凹区间。

6、dy/dx=-8x/(x^2+4)^2,

d^2y/dx^2=-8[(1x^2+4)^2-x*2(1x^2+4)*2ax]/(x^2+4)^4,

d^2y/dx^2=-8[(1x^2+4)-4x^2]/(x^2+4)^3,

d^2y/dx^2=8(3x^2-4)/(x^2+4)^3,

令d^2y/dx^2=0，则3x^2-4=0，即x^2=4/3,

求出x1=-(2/3)√3，x2=(2/3)√3。

（1）当x∈(-∞，-(2/3)√3),( (2/3)√3，+∞)时，

d^2y/dx^2＞0，则此时函数y为凹函数，

（2）当∈[-(2/3)√3,(2/3)√3]时，

dy/dx≤0，则此时函数y为增函数。

7、根据奇偶性判断原则，判断函数为偶函数。

因为f(x)=4/(x^2+4),

所以f(-x)=4/[1(-x)^2+4]=4/(x^2+4)=f(x),

即函数为偶函数，函数图像关于y轴对称。

8、该偶数分式函数y=4/(x^2+4)部分点解析表如下：

9、函数的示意图，综合以上函数定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性和极限的性质，函数y=4/(x^2+4)的示意图如下：