【抽象代数】格和子格怎么用Mathematica绘制？

1、我们先写一个自定义函数，用来根据给定的格基绘制相应的格。

f[w_, J_, color_, opacity_]

其中，w代表格子的某个顶点，J是由格基组成的矩阵，color代表格子的颜色，opacity代表透明度。

2、比如，Z^2的一个以原点为顶点的格子可以画为：

Show[f[{0, 0}, {{1, 0}, {0, 1}}, Green, 1], Axes -> True]

3、我们当然可以把一定范围内所有的格子全部画出来：

A = Tuples[Range[-12, 11], 2];

Show[f[#, {{1, 0}, {0, 1}}, Green, 0.5] & /@ A,Axes -> True]

4、用矩阵a左乘，会把格子变成别的形状：

a = {{3, 1}, {-1, 2}};

Show[

 f[#, {{1, 0}, {0, 1}}, Green, 0.5] & /@ A,

 f[{0, 0}, a, Blue, 1], Axes -> True]

a把一个绿色的小正方形变成了一个蓝色的平行四边形。

注意，这里直接把a当成了格子的基，因为a乘以2*2的单位矩阵，仍等于a。

5、我们也可以把附近所有的蓝色格子全部画出来：

Show[

 f[#, {{1, 0}, {0, 1}}, Green, 0.5] & /@ A,

 f[#, a, Blue, 1] & /@ (A.a\[Transpose]),

Axes -> True]

6、参考《【抽象代数】Z矩阵的对角化》里面的方法，可以把矩阵a简化为：

b={{1,0},{0,-7}};

那么我们可以画出b对应的格子：

Show[

 f[#, {{1, 0}, {0, 1}}, Green, 0.5] & /@ A,

 f[{0, 0}, b, Red, 1]]

这是一个长条形的格子，恰好是由7个1*1的格子组成。