二次三项式分解因式，也有简便计算的技巧、窍门
1、配方法，就是增加常数，与二次项、一次项，组合成一个完全平方，原来的常数项也变成一个负的平方数，这样得到了平方差，就可以用平方差公式，进行因式分解了。
想想完全平方公式 ( a ± b )" = a" ± 2ab + b" ，具体式子
( x ± 1 )" = x" ± 2x + 1 ，
( x ± 2 )" = x" ± 4x + 4 ，
( x ± 3 )" = x" ± 6x + 9 ，
就像不进位的 11" = 121 ，12" = 144 ，13" = 169 ……
做配方，就要首先熟悉各种完全平方式。
2、第一步先看看，二次项系数是 1 ，一次项系数是偶数的式子，配方做起来也最方便了。
例如，
x" + 10x - 24
= x" + 2X( 5x ) + 5" - 25 - 24
= ( x + 5 )" - 49
= ( x + 5 )" - 7"
= ( x + 5 - 7 )( x + 5 + 7 )
= ( x - 2 )( x + 12 )
或者
x" + 10x + 24
= x" + 10x + 25 - 1
= ( x + 5 )" - 1"
= ( x + 5 - 1 )( x + 5 + 1 )
= ( x + 4 )( x + 6 )
这样，a = 1， b = 2n，式子 x" + 2nx + c 配方就是
= x" + 2nx + n" - n" + c
= ( x + n )" - n" + c
3、如果二次项系数不是 1 ，一次项系数也不是偶数，而是奇数，这样又怎么办呢？
看吧，
8x" + 52x + 60
= 4( 2x" + 13x + 15 )
这样，可以先提取二次项系数，变成 1 ，
= 8[ x" + (13/2)x + (13/4)" - 169/16 + (60/8) ]
= 8[ ( x + 13/4 )" - 49/16 ]
= 8( x + 13/4 + 7/4 )( x + 13/4 - 7/4 )
= 8( x + 20/4 )( x + 6/4 )
= 4( x + 5 )( 2x + 3 )
或者，
8x" + 52x + 60
也可以让二次项系数变成平方数，做起来又有好处
= (1/2)( 16x" + 104x + 120 )
= (1/2)[ (4x)" + 26(4x) + (13)" - 169 + 120 ]
= (1/2)[ ( 4x + 13 )" - 49 ]
= (1/2)( 4x + 13 + 7 )( 4x + 13 - 7 )
= (1/2)( 4x + 20 )( 4x + 6 )
= 4( x + 5 )( 2x + 3 )
这样就看到，配方并非一定要一次项系数是偶数。如果学过推导一元二次方程的求根公式，就会看到许多种二次项、一次项的系数都能配方。
4、如果说，配方没有得到平方差，只是得到负数，是不是就不能分解因式呢？其实，只要扩大数值范围，就可以加上根号，又得到平方差，在实数范围也同样能够分解因式。
x" - 6x + 7
= x" - 6x + 3" - 9 + 7
= ( x - 3 )" - 2
= ( x - 3 )" - (√2)"
= ( x - 3 - √2 )( x - 3 + √2 )
5、如果扩大到复数范围，就连常数项变成正数，配方得到的是平方和，也还是可以分解因式。
x" + 6x + 10
= x" + 6x + 3" - 9 + 10
= ( x + 3 )" + 1
= ( x + 3 )" - (-1)
= ( x + 3 - i )( x + 3 + i )
6、其实，只要改变数字范围，分解因式就是不同结果，
所以说，分解因式的结果并非固定不变。
看吧
x^4 - 4
有理数范围
= (x")" - 2"
= ( x" + 2 )( x" - 2 )
实数范围
= ( x" + 2 )[ x" - (√2)" ]
= ( x" + 2 )( x + √2 )( x - √2 )
复数范围
= [ x" - (-2) ]( x + √2 )( x - √2 )
= [ x + (√2)i ][ x - (√2)i ]( x + √2 )( x - √2 )
这样的平方差分解因式，也是相当典型的例子。
1、前面的配方法，就是把完全平方与平方差的公式倒过来使用。
拆项分组分解也一样，整式相乘的公式 ( x + a )( x + b ) = x" + ( a + b )x + ab 倒过来使用，就要先把一次项一分为二，然后就可以分组，提取公因式，进行分解了。
关键就看常数项的正负，决定一次项怎样一分为二：
【】如果常数项是正数，一次项的绝对值，就是拆开两项绝对值的和，
或者说，拆开两项的绝对值，就都比原来小；
【】如果常数项是负数，一次项的绝对值，就是拆开两个项的相差数，
或者说，拆开两项的绝对值，比起原来就一大一小。
2、一次项怎样一分为二，为什么要根据常数项的正负呢？
前面我们分解了 x" + 10x + 24 和 x" + 10x - 24，其实，这只是式子 x" ± 10x ± 24 的两种情况。这个二次三项式相当特别，一次项、常数项，都有正负两种情况。一次项、常数项的绝对值不变，整个式子就有四种情况，具体的四个式子都能做因式分解。
只要把具体的四个式子都做一遍，我们就会发现：
【】常数项不变，只是一次项变成相反数，一次项一分为二的绝对值就不变；
【】一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式。
这样，就当然要根据常数项，决定一次项怎样一分为二了。
3、具体四个式子分解因式之前，我们不妨按照四个象限坐标的顺序，先把式子全部列举出来。
第一象限（正，正），x" + 10x + 24 ，
第二象限（负，正），x" - 10x + 24 ，
第三象限（负，负），x" - 10x - 24 ，
第四象限（正，负），x" + 10x - 24 ；
接下来我们就通过这几个例子，使用拆项分组分解法，一个一个探索奥秘。
4、x" + 10x + 24
常数项是正数，一次项一分为二就要变成两个小的，
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )
或者
= x" + 6x + 4x + 24
= x( x + 6 ) + 4( x + 6 )
= ( x + 4 )( x + 6 )
5、x" - 10x + 24
常数项 +24 不变，一次项 10x 变成相反数，一分为二的绝对值还是 4x 与 6x ，
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )
或者
= x" - 6x - 4x + 24
= x( x - 6 ) - 4( x - 6 )
= ( x - 4 )( x - 6 )
6、x" - 10x - 24
常数项是负数，一次项一分为二就比原来一大一小，
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x + 2 )( x - 12 )
或者
= x" + 2x - 12x - 24
= x( x + 2 ) - 12( x + 2 )
= ( x + 2 )( x - 12 )
7、x" + 10x - 24
常数项 -24 不变，一次项 -10x 变成相反数，一分为二的绝对值还是 12x 与 2x，
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x - 2 )( x + 12 )
或者
= x" - 2x + 12x - 24
= x( x - 2 ) + 12( x - 2 )
= ( x - 2 )( x + 12 )
8、其实，这个 x" ± 10x ± 24 也正好是 x" ± 5xy ± 6y" 当中，y = 2 的一个情况，这个式子千变万化，还有更多情况。
如果说，x" ± 5xy ± 6y" 的二次项系数是 1，我们不需要这样拆项分组分解；真正困难的式子，二次项系数不是 1。别着急，首先找到规律，打好基础，才能更上一层楼。
1、拆项分组分解因式，一次项怎样一分为二，学到了吗？
【】如果常数项是正数，一次项的绝对值，就是拆开两项绝对值的和，
或者说，拆开两项的绝对值，就都比原来小；
【】如果常数项是负数，一次项的绝对值，就是拆开两个项的相差数，
或者说，拆开两项的绝对值，比起原来就一大一小。
下面我们就增加难度，前面配方法分解的 8x" + 52x + 60 ，二次项系数不是 1 ，其实它也是式子 8x" ± 52x ± 60 四种情况中的一种，这个式子也是四种情况都能分解因式。
2、8x" + 52x + 60
既然常数项是正数，一次项就要拆开两个小的，
= 8x" + 40x + 12x + 60
= 8x( x + 5 ) + 12( x + 5 )
= ( x + 5 )( 8x + 12 )
= 4( x + 5 )( 2x + 3 )
或者
= 8x" + 12x + 40x + 60
= 4x( 2x + 3 ) + 20( 2x + 3 )
= ( 4x + 20 )( 2x + 3 )
= 4( x + 5 )( 2x + 3 )
3、8x" - 52x + 60
常数项还是 +60，一次项就还是拆开 12x 和 40x，
= 8x" - 40x - 12x + 60
= 8x( x - 5 ) - 12( x - 5 )
= ( x - 5 )( 8x - 12 )
= 4( x - 5 )( 2x - 3 )
或者
= 8x" - 12x - 40x + 60
= 4x( 2x - 3 ) - 20( 2x - 3 )
= ( 4x - 20 )( 2x - 3 )
= 4( x - 5 )( 2x - 3 )
4、8x" - 52x - 60
既然常数项是负数，一次项就要变成相差数，
= 8x" + 8x - 60x - 60
= 8x( x + 1 ) - 60( x + 1 )
= ( x + 1 )( 8x - 60 )
= 4( x + 1 )( 2x - 15 )
或者
= 8x" - 60x + 8x - 60
= 4x( 2x - 15 ) + 4( 2x - 15 )
= ( 4x + 4 )( 2x - 15 )
= 4( x + 1 )( 2x - 15 )
5、8x" + 52x - 60
常数项还是 -60，一次项就还是拆开 8x 和 60x，
= 8x" - 8x + 60x - 60
= 8x( x - 1 ) + 60( x - 1 )
= ( x - 1 )( 8x + 60 )
= 4( x - 1 )( 2x + 15 )
或者
= 8x" + 60x - 8x - 60
= 4x( 2x + 15 ) - 4( 2x + 15 )
= ( 4x - 4 )( 2x + 15 )
= 4( x - 1 )( 2x + 15 )
6、同样，这个 8x" ± 52x ± 60 也正是式子 8x" ± 26xy ± 15y" 当中 y = 2 的情况，这个千变万化的式子，也同样有更多情况。
像这样，二次项系数不是 1 的式子，也更能够说明问题，更能够反映规律，新方法用起来也更能够感受到好处。
道理很简单，因为二次项系数不是 1，就不仅常数项是乘积，还有二次项系数也是乘积，十字相乘很可能看得不知从何下手。相比之下，拆项分组分解因式，还是有根有据，一步一步地操作。这样比起不知所措，感觉当然就方便轻松多了。
1、分解因式简便计算的技巧、窍门，我们得到了吗？自己也赶快试试看吧！
这两个核心的二次三项式，就是 x" ± 5xy ± 6y" 和 8x" ± 26xy ± 15y"，
我们只要根据这两个核心的式子，就能够把其他绝对值都记住，多取几个具体式子都分解因式练一练，这个技巧、窍门就掌握熟悉了。
2、这两个 x" ± 5xy ± 6y" 和 8x" ± 26xy ± 15y" 的式子千变万化，如果 x 和 y 分别取整数 1 到 6 ，就会得到 24 种绝对值的式子，每一种绝对值正负又都有四个具体式子，这样就得到 96 个式子，有些绝对值还能够提取公约数化简，就又得到其他绝对值的式子，这样也正好适合那些需要几十道、上百道练习题的朋友们。
下面为了方便大家核对，我就把 24 种与更多的绝对值都全部列举出来。
3、x" ± 5x ± 6 ，
x" ± 10x ± 24 ，
x" ± 15x ± 54 ，
x" ± 20x ± 96 ，
x" ± 25x ± 150 ，
x" ± 30x ± 216 ，
……
其实，它们都是 x" ± 5xy ± 6y" 当中，y 取具体数值得到的；
这个式子千变万化，如果 x 取具体数值，还有
6x" ± 5x ± 1 ，
6x" ± 10x ± 4 = 2( 3x" ± 5x ± 2 ) ，
6x" ± 15x ± 9 = 3( 2x" ± 5x ± 3 ) ，
6x" ± 20x ± 16 = 2( 3x" ± 10x ± 8 ) ，
6x" ± 25x ± 25 ，
6x" ± 30x ± 36 = 6( x" ± 5x ± 6 ) ，
……
或者说，正如 6x" ± 30x ± 36 = 6( x" ± 5x ± 6 )，
对三个绝对值提出公约数，就又回到了 x" ± 5x ± 6 ；
倒过来，如果对这些式子的三个绝对值都乘以相同的倍数，得到的式子就更多了。
4、8x" ± 26x ± 15 ，
8x" ± 52x ± 60 = 4( 2x" ± 13x ± 15 ) ，
8x" ± 78x ± 135 ，
8x" ± 104x ± 240 = 8( x" ± 13x ± 30 ) ，
8x" ± 130x ± 375 ，
8x" ± 156x ± 540 = 4( 2x" ± 39x ± 135 ) ，
……
这些绝对值也都是 8x" ± 26xy ± 15y" 当中，y 取具体数值得到的；
这个千变万化的式子，如果 x 取具体数值，还有
15x" ± 26x ± 8 ，
15x" ± 52x ± 32 ，
15x" ± 78x ± 72 = 3( 5x" ± 26x ± 24 ) ，
15x" ± 104x ± 128 ，
15x" ± 130x ± 200 = 5( 3x" ± 26x ± 40 )，
15x" ± 156x ± 288 = 3( 5x" ± 52x ± 96 )，
……
其实，这些绝对值还只是 x 或 y 单独取值，式子就已经这么多了，假如 x 和 y 一同取值，肯定就会得到更多的绝对值和式子。
5、 这么多的二次三项式，分解因式的结果其实都有关系。
这两个核心的 x" ± 5xy ± 6y" 和 8x" ± 26xy ± 15y"，我们都已经各做了其中一个绝对值的四个式子，其余式子的答案又是什么样，我们就不用列举了吧。
相信大家自己开动脑筋，分解因式的结果，自己做出来也更有收获，胜利感也更强。
6、想一想，是不是只有 x" ± 5xy ± 6y" 和 8x" ± 26xy ± 15y" 的绝对值，式子才是正负都能够分解因式呢？其实，在配方法的最后，我们已经看到，只要改变数字范围，就连平方和也能够变成平方差，就能够分解因式了。
看吧，
x" + 4
= x" - (-4)
来到复数范围
= x" - ( 2i )"
= ( x - 2i )( x + 2i )
这就说明，或者任何绝对值的式子，正负值也都能够分解因式，只是说，一般的式子，如果变成了相反数，分解因式就要改变数字范围。
正确的说法，这两个 x" ± 5xy ± 6y" 和 8x" ± 26xy ± 15y" 奇特绝对值的式子，是正负都能够在整数范围分解因式；一般的式子，不改变数字范围就办不到了。