二元函数求极值的步骤

1、设函数z=f（x，y）在点（X0,Y0）的某邻域内有定义，

对于该邻域内异于（xoy）的点(x,y）:
若满足不等式        f(x,y)<f(xo,yo)，
则称函数在（xo,y0）有极大值；
若满足不等式        f(x,y)>f(xo,yo)，
则称函数在（xo,y0）有极小值；
极大值、极小值统称为极值.
使函数取得极值的点称为极值点.

1、定理1 (必要条件);

设函数z= f(x,y)在点(x0, y0)具有偏导数:且在点(X0,Y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零:f:(xo,yo)= 0,Fy(x0,y0)= 0.

2、设函数z= f(x,y )在点(x0, y0)的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，

又Fx(x0,y0)=0,Fy(X0,Y0)=0,

令fxx(xo,yo)=A，fxx(xo,yo)=B,fyy(xo,yo)=C,

则f(x,y)在点(xo,y0 )处是否取得极值的条件如下;

(1) AC-B^2 > 0时具有极值，

当A < 0时有极大值，当A > 0时有极小值;

(2) AC-B^2 < 0时没有极值;

(3) AC- B^2=0时可能有极值，也可能没有极值,还需另作讨论.

1、第一步  解方程组fx(x,y)=0, fy(x,y)=0求出实数解，得驻点.

2、第二步  对于每一个驻点(x0,yo)，求出二阶偏导数的值A、B、C.

3、第三步  定出AC- B^2的符号，再判定是否是极值.

1、下面是一道例题，希望大家好好研究一下。这样可以更好的掌握二次函数的求值方法。