两个函数生成的函数群的构造过程

1、先给出一个简单的函数：

f=1/x

这是一个反比例函数。

2、同时，f又是一个对合。

如果f自己进行复合的话，就有：

f[f[x]]=x

1、第二个函数稍微复杂一些：

g[x_] := (-1 + x)/x

2、g的自嵌套，也可以形成一个循环：

g[g[x]]

g[g[g[x]]]

1、f里面嵌套g的效果，如下图所示。

2、下图是在g里面嵌套f。

3、混合嵌套的效果。

4、那么，由f和g的嵌套生成的群，包括6个元素：

f、g、h、p、q、r。

5、构造群的乘法表，如下图，可以发现，p(x)=x（恒等变换）是群里面的单位元。

因为h(g(x))=p(x)=x，那么我们就可以这样做标记：

h·g=p，所以说g是h在群里面的逆元；

同样的，g·h=p，说明g和h互为逆元素；

f、p、q、r的逆元素是他们自身。