两个函数生成的函数群的构造过程

在函数复合的规则之下，我们可以用两个函数，来构造一个群。本文，就介绍一下这个群的构造过程。

工具/原料

电脑

Mathematica

函数1

1、先给出一个简单的函数：f=1/x这是一个反比例函数。

2、同时，f又是一个对合。如果f自己进行复合的话，就有：f[f[x]]=x

函数2

1、第二个函数稍微复杂一些：g[x_] := (-1 + x)/x

2、g的自嵌套，也可以形成一个循环：g[g[x]]g[g[g[x]]]

f与g的复合

1、f里面嵌套g的效果，如下图所示。

2、下图是在g里面嵌套f。

3、混合嵌套的效果。

4、那么，由f和g的嵌套生成的群，包括6个元素：f、g、h、p、q、r。

5、构造群的乘法表，如下图，可以发现，p(x)=x（恒等变换）是群里面的单位元。因为h(g(x))=p(x)=x，那么我们就可以这样做标记：h·g=p，所以说g是h在群里面的逆元；同样的，g·h=p，说明g和h互为逆元素；f、p、q、r的逆元素是他们自身。