四阶群的分类

1、假设G里面存在四阶元素p，那么，H={1,p,p^2,p^3}就是一个四阶循环群。

此时此刻，G只能等于H。

乘法表如下图所示。

2、H={0,1,2,3}在合成法则f(x,y)=(x+y)%4作用下构成一个四阶群。

只不过此时的单位元是0，

上面G中的单位元 1可以认为是p^0，对应着H中的1*0，

G中的p对应着H中的1*1，

G中的p^2对应着H中的1*2，

G中的p^3对应着H中的1*3。

G和H是同构的。

3、如果p=(1234)，表示一个轮换。

p作用于{a,b,c,d}，得到{b,c,d,a}。这个p的阶数是4：

p^2作用于{a,b,c,d}，得到{c,d,a,b}；

p^3作用于{a,b,c,d}，得到{d,a,b,c}；

p^4作用于{a,b,c,d}，得到{a,b,c,d}；

所以1=p^4，表示不变。

这样，K={1,p,p^2,p^3}构成一个群，合成法则是轮换的嵌套。

1、G={1,p,q,r}没有四阶元素，那么p,q,r都只能是二阶元素，也就是说，p^2=q^2=r^2=1,且p,q,r互不相等。

这一点在复数乘法范围内是何其荒谬，但在群论领域真实存在，只不过这个1不是数字1，而是群的单位元。

比如，H={1,3,5,7}在合成法则f(x,y)=(x*y)%8作用下，构成一个封闭的群。

我们把这类群称为Klein四元群，其乘法表如图：

2、令p=(12)(34)表示一个置换，p作用于{a,b,c,d}，得到{b,a,d,c}；

q=(13)(24)，r=(14)(23)，那么，{1,p,q,r}构成一个群，合成法则是置换的嵌套。