四阶群的分类

四阶群指的是，集合G只有四个元素{1,p,q,r}，这四个元素在某种合成法则下构成一个封闭的群。四阶群按照同构类来分类，那么就只存两类：Klein四元群和四阶循环群。本文，从最初情形，对四阶群进行分类。

工具/原料

电脑

笔杆子

算草纸

有四阶元素

1、假设G里面存在四阶元素p，那么，H={1,p,p^2,p^3}就是一个四阶循环群。此时此刻，G只能等于H。乘法表如下图所示。

3、如果p=(1234)，表示一个轮换。p作用于{a,b,c,d}，得到{b,c,d,a}。这个p的阶数是4：p^2作用于{a荑樊综鲶,b,c,d}，得到{c,d,a,b}；p^3作用于{a,b,c,d}，得到{d,a,b,c}；p^4作用于{a,b,c,d}，得到{a,b,c,d}；所以1=p^4，表示不变。这样，K={1,p,p^2,p^3}构成一个群，合成法则是轮换的嵌套。

2、令p=(12)(34)表示一个置换，p作用于{a,b,c,d}，得到{b,a,d,c}；q=(13)(24)，r=(14)(23)，那么，{1,p,q,r}构成一个群，合成法则是置换的嵌套。