等内切圆的部分问题集锦
本文，我要给大家介绍一些网上流传已久的几个关于等内切圆的问题。 前面写了一篇经验，里面提到了某个博客，结果被认定为“替他人做宣传”。真是滑稽！
2、 第二个问题： 设△ABW和△AWC的内切圆半径相等，求洵翌绦枞证：4(AW^2)=((AB+AC)^2)-(BC^2)。 证骈跪爸锂明过程如下： 设AB=c，AC=b，BC=a，BW=x，CW=y； ∵ △ABW和△AWC的内切圆半径相等， ∴ (S△ABW/S△AWC)=(L△ABW/L△AWC),即(x/y)=(h+c+x/h+b+y)=(h+c/h+b)； ∵ x+y=a，∴ x=(ac+ah/b+c+2h)，y=(ab+ah/b+c+2h)； 根据海伦公式，有： S△ABW=(x/x+y)S△ABC =(h+c/2h+b+c)S△ABC=(h+c/2h+b+c)·(√((c+b+a)(c+b-a)(c-b+a)(-c+b+a))/4)=(h+c/2h+b+c)·(√((c^4)+(b^4)+(a^4)-2(c^2)(a^2)-2(b^2)(c^2)-2(a^2)(b^2))/4)， 另外，有： S△ABW=(√((c+h+x)(c+h-x)(c-h+x)(-c+h+x))/4)=(√((c^4)+(h^4)+(x^4)-2(c^2)(x^2)-2(h^2)(c^2)-2(x^2)(h^2))/4)， ∴ (h+c/2h+b+c)·(√((c^4)+(b^4)+(a^4)-2(c^2)(a^2)-2(b^2)(c^2)-2(a^2)(b^2))/4)=(√((c^4)+(h^4)+(x^4)-2(c^2)(x^2)-2(h^2)(c^2)-2(x^2)(h^2))/4)； 把 x=(ac+ah/b+c+2h)代入，化简得：h=√((((b+c)^2)-(a^2)/2))。
2、 给定△UVW，设各顶点坐标是：U = {0, 0}; V = {0, 1}; W = {1, 1}; 它的边长是：{u, v, w} = {Norm[V - W], Norm[W - U], Norm[U - V]}; 它的面积为： S[U_, V_, W_] := Sqrt[(u + v + w) (u + v - w) (u - v + w) (-u + v + w)]=(Sqrt((Norm[V - W] + Norm[W - U] + Norm[U - V]) (Norm[V - W] + Norm[W - U] - Norm[U - V]) (Norm[V - W] - Norm[W - U] + Norm[U - V]) (-Norm[V - W] + Norm[W - U] + Norm[U - V])))/4; 它的周长为： L[U_, V_, W_] := u + v + w= Norm[V - W] + Norm[W - U] + Norm[U - V]; 它的内切圆半径为： r[U_, V_, W_] := S[U, V, W]/L[U, V, W]; 如果X使得△XUV和△XUW的内切圆半径相等，那么X应该满足什么条件？ 当然是：r[U, V, X] == r[U, X, W]（假设这条曲线为Ω）， 即 S[U, V, X]/L[U, V, X] == S[U, X, W]/ L[U, X, W]， 进而化成：S[U, V, X] L[U, X, W] == L[U, V, X] S[U, X, W]; 同样地，如果X使得△XUV和△XVW的内切圆半径相等，那么X应该满足：S[U, V, X] L[V, X, W] == L[U, V, X] S[V, X, W]（假设这条曲线为Ψ）。 Ω和Ψ的交点，就是所求的点。Mathematica代码如下：
3、 把曲线Ω画成绿色的，把曲线Ψ画成蓝色的，并适当改变一下画图范围。具体的Mathematica代码如图：
4、 上面的代码有个缺点，每次只能作出一个图，要想画出别的结果，必须重新定义U、V、W三点的坐标，显得很麻烦！ 所以，有必要引进定位器来作图。关于定位器的用法，请移驾——《用Mathematica处理几何问题——定位器Locator》。 同样使用上面的自定义函数，并运行下图里的代码。特点是：可以用鼠标拖动△UVW的顶点，其坐标实时显示在左上角。 我曾尝试用Mathematica计算出Ω和Ψ的交点的坐标，但是失败了，就连粗略的数值坐标都算不出来！Solve[S[U, V, X] L[U, X, W] == L[U, V, X] S[U, X, W] && S[U, V, X] L[V, X, W] == L[U, V, X] S[V, X, W], {x, y}] 和NSolve[S[U, V, X] L[U, X, W] == L[U, V, X] S[U, X, W] && S[U, V, X] L[V, X, W] == L[U, V, X] S[V, X, W], {x, y}]。
