等内切圆的部分问题集锦
本文，我要给大家介绍一些网上流传已久的几个关于等内切圆的问题。 前面写了一篇经验，里面提到了某个博客，结果被认定为“替他人做宣传”。真是滑稽！
工具/原料
电脑
几何画板
Mathematica
问题与分析
1、 第一个问题： △CAB，固定A、B，如果△CAB内切圆半径为定值，那么，C的轨迹应该是一条什么曲线呢？ 下面，用几何画板作出C的轨迹曲线： 过线段AB上的动点 I，作垂直于AB的线段H I，要求H I <AB/2， 以H为圆心，H I 为半径作圆，再分别过A、B作圆的切线（异于AB），切点分别是J、K； 设射线AJ、BK交于C，作C关于AB的对称点C'； 选中I、C，构造C的轨迹； 选中 I、C'，构造C'的轨迹； 可见，这两条轨迹，合为一条双曲线。 所以，结论是： △CAB，固定A、B，如果△CAB内切圆半径为定值，那么，C的轨迹应该是一条双曲线。
2、 第二个问题： 设△ABW和△AWC的内切圆半径相等，求洵翌绦枞证：4(AW^2)=((AB+AC)^2)-(BC^2)。 证骈跪爸锂明过程如下： 设AB=c，AC=b，BC=a，BW=x，CW=y； ∵ △ABW和△AWC的内切圆半径相等， ∴ (S△ABW/S△AWC)=(L△ABW/L△AWC),即(x/y)=(h+c+x/h+b+y)=(h+c/h+b)； ∵ x+y=a，∴ x=(ac+ah/b+c+2h)，y=(ab+ah/b+c+2h)； 根据海伦公式，有： S△ABW=(x/x+y)S△ABC =(h+c/2h+b+c)S△ABC=(h+c/2h+b+c)·(√((c+b+a)(c+b-a)(c-b+a)(-c+b+a))/4)=(h+c/2h+b+c)·(√((c^4)+(b^4)+(a^4)-2(c^2)(a^2)-2(b^2)(c^2)-2(a^2)(b^2))/4)， 另外，有： S△ABW=(√((c+h+x)(c+h-x)(c-h+x)(-c+h+x))/4)=(√((c^4)+(h^4)+(x^4)-2(c^2)(x^2)-2(h^2)(c^2)-2(x^2)(h^2))/4)， ∴ (h+c/2h+b+c)·(√((c^4)+(b^4)+(a^4)-2(c^2)(a^2)-2(b^2)(c^2)-2(a^2)(b^2))/4)=(√((c^4)+(h^4)+(x^4)-2(c^2)(x^2)-2(h^2)(c^2)-2(x^2)(h^2))/4)； 把 x=(ac+ah/b+c+2h)代入，化简得：h=√((((b+c)^2)-(a^2)/2))。
3、 第三个问题： U、V在△TSR的边SR上，△TSU和△T外狒芙梨VR的内切圆半径相等。求证：△TSV和△TRU的内切圆半径也相等。 证明：这里，用三角函数来处理这个问题。 设∠STU=a，∠VTR=β，∠UTV=γ，∠TSR=u，∠TRS=v； 那么：(TS+TU)/SU=(TV+TR)/RV=(sin(a+u)+sinu)/sina=(sin(β+v)+sinv)/sinβ， 而 (sin(a+u)+sinu）/sina=(2sin(a+2u/2)·cos(a/2))/(2sin(a/2)·cos(a/2))=sin(a+2u/2)/sin(a/2)， 所以：sin(a+2u/2)/sin(a/2)=sin(β+2v/2)/sin(β/2)， 此式可以化为：sin(a+2u/2)*sin(β/2)=sin(β+2v/2)*sin(a/2)……（*）。 这里，要引进一个公式——引理：sin(x+y)*sin(x-y)=(sinx)^2-(siny)^2。 该公式的证明请参考《n倍角公式的证明和应用》。 利用引理的公式，（*）式可以化为：(sin((a+β+2u)/4))^2-(sin((a-β+2u)/4)^2=(sin((a+β+2v)/4))^2-(sin((-a+β+2v)/4))^2， 移项：(sin((a+β+2u)/4))^2-(sin((a+β+2v)/4))^2=(sin((a-β+2u)/4)^2-(sin((-a+β+2v)/4))^2 …………（**）， 对于（**）左右两边，分别逆向使用引理的公式，有：sin((a+β+u+v)/2)*sin((u-v)/2)=sin((u+v)/2)*sin(a-β+u-v)/2) …………（***）。 可以说，（***）式是△TSU和△TVR的内切圆半径相等的等价条件。 同样，可以发现，△TSV和△TRU的内切圆半径相等的等价条件是（只需要把a变为a+γ，β变为β+γ，代入（***）里面即可）：sin((a+γ+β+γ+u+v)/2)*sin((u-v)/2)=sin((u+v)/2)*sin(a-β+u-v)/2)……（****）。 现在只需要证明（***）和（****）是等价的，就可以了。即求证：sin((a+β+u+v)/2)=sin((γ+γ+a+β+u+v)/2)。 只要注意到γ+a+β+u+v=180°，就变得很简单了！
4、 第四个问题： U、V在△TSR的边SR上，△TSU和△TVR的内切圆半径相等。求证：(TS-TR)/(TU-TV) =SR/UV。 ∵△TSU和△TVR的内切圆半径相等， ∴(TS+TU)/SU=(TV+TR)/RV， 整理，得：TS*RV+TU*RV=TV*SU+TR*SU，………………① 由上面的结论可知：△TSV和△TRU的内切圆半径相等，那么(TS+TV)/SV=(TU+TR)/UR，TS*UV+TS*RV+TV*UV+TV*RV=TU*SU+TR*SU+TU*UV+TR*UV，……② ②-①，整理，得到：(TS-TR)/(TU-TV)=SR/UV。 可以发现，这是△TSU和△TVR的内切圆半径相等的等价条件。
另一个问题
1、 给定△UVW，找到平面上的点X，使得△XUV、△XUW、△XVW的内切圆半径相等。 我个人认为，X几乎不可能用尺规作图的方法构造出来。因为平面上满足要求的X点，一共有四个！ 于是，我退而求其次，打算用Mathematica来对这个问题进行作图。下面，就细细地说说我的思路。
2、 给定△UVW，设各顶点坐标是：U = {0, 0}; V = {0, 1}; W = {1, 1}; 它的边长是：{u, v, w} = {Norm[V - W], Norm[W - U], Norm[U - V]}; 它的面积为： S[U_, V_, W_] := Sqrt[(u + v + w) (u + v - w) (u - v + w) (-u + v + w)]=(Sqrt((Norm[V - W] + Norm[W - U] + Norm[U - V]) (Norm[V - W] + Norm[W - U] - Norm[U - V]) (Norm[V - W] - Norm[W - U] + Norm[U - V]) (-Norm[V - W] + Norm[W - U] + Norm[U - V])))/4; 它的周长为： L[U_, V_, W_] := u + v + w= Norm[V - W] + Norm[W - U] + Norm[U - V]; 它的内切圆半径为： r[U_, V_, W_] := S[U, V, W]/L[U, V, W]; 如果X使得△XUV和△XUW的内切圆半径相等，那么X应该满足什么条件？ 当然是：r[U, V, X] == r[U, X, W]（假设这条曲线为Ω）， 即 S[U, V, X]/L[U, V, X] == S[U, X, W]/ L[U, X, W]， 进而化成：S[U, V, X] L[U, X, W] == L[U, V, X] S[U, X, W]; 同样地，如果X使得△XUV和△XVW的内切圆半径相等，那么X应该满足：S[U, V, X] L[V, X, W] == L[U, V, X] S[V, X, W]（假设这条曲线为Ψ）。 Ω和Ψ的交点，就是所求的点。Mathematica代码如下：
3、 把曲线Ω画成绿色的，把曲线Ψ画成蓝色的，并适当改变一下画图范围。具体的Mathematica代码如图：
4、 上面的代码有个缺点，每次只能作出一个图，要想画出别的结果，必须重新定义U、V、W三点的坐标，显得很麻烦！ 所以，有必要引进定位器来作图。关于定位器的用法，请移驾——《用Mathematica处理几何问题——定位器Locator》。 同样使用上面的自定义函数，并运行下图里的代码。特点是：可以用鼠标拖动△UVW的顶点，其坐标实时显示在左上角。 我曾尝试用Mathematica计算出Ω和Ψ的交点的坐标，但是失败了，就连粗略的数值坐标都算不出来！Solve[S[U, V, X] L[U, X, W] == L[U, V, X] S[U, X, W] && S[U, V, X] L[V, X, W] == L[U, V, X] S[V, X, W], {x, y}] 和NSolve[S[U, V, X] L[U, X, W] == L[U, V, X] S[U, X, W] && S[U, V, X] L[V, X, W] == L[U, V, X] S[V, X, W], {x, y}]。
