高等数学导数运算等知识的应用举例

本经验主要介绍导数的基本概念、基本运算、几何意义及单调性判断等知识，并举例详细解析。

※.导数的定义应用举例

1、[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).例题1：设函数f(x)在x=10处的导数为12，则极限lim(△x→0)[f(10+38△x)-f(10)]/(9△x)的值是多少？解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为12，其定义为：lim(△x→0)[f(10+△x)-f(10)]/(△x)= 12。对所求极限进行变形有：lim(△x→0) 38*[f(10+38△x)-f(10)]/(9*38△x)=lim(△x→0) (38/9)*[f(10+38△x)-f(10)]/(38△x),=(38/9)lim(△x→0) [f(10+38△x)-f(10)]/(38△x),=(38/9)*12,=152/3.

2、例题2:有一小车的运动方程为s(t)=16t²+44/t(t是时间，s是位移)，则该小车在时刻t=6时的瞬时速度为多少？解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：v(t)=s'(t)=(16t²+44/t)',=2*16t-44/t²,当t=6时，有：v(6)=2*16*6-44/6²,v(6)=277/9,所以小车在时刻t=6时的瞬时速度为277/9。

※.导数的基本运算举例

1、例题1：已知函数f(x)=(13x-17)lnx-67x²,求导数f'(1)的值。解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。∵f(x)= (13x-17)lnx-67x²，∴f'(x)=13lnx+(13x-17)*(1/x)-2*67x =13lnx+(13x-17)/x-134x.所以: f'(1)=0+13-17-134=-138.即为本题所求的值。

2、例题2:已知函数f(x)=-(13/38)x²+29xf'(11400)+11400lnx，求f'(d14)的值。解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。∵f(x)=-(13/38)x²+29xf'(11400)+11400lnx，∴f' (x)=-2*(13/38)x+29f'(11400)+11400/x,则当x=11400时，有:f'(11400)=-2*(13/38)*11400+29f'(11400)+11400/11400,即:-2*(13/38)*11400+28f'(11400)+1=0,所以: f'(11400)= 7799/28.

※.导数的几何意义应用举例

1、例题1：求函数f(x)=x(17x+18)³的图像在点(2,f(2))处的切线的斜率k。 [知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。解：本题对函数求导有：f' (x)=(17x+18)³+3x(17x+18)²*17=(17x+18)²*(17x+18+3*17x)=(17x+18)²*(4*17x+18) 当x=2时，有： 斜率k=f'(2)=(17*2+18)²*(4*17*2+18)=2704*154=416416，即为本题所求的值。

2、例题2：若曲线y=38x/13-24lnx在x=x₀处的切斜的斜率为21/9,则x₀的值是多少?解：对曲线y进行求导，有：y'=38/13-24/x，根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：38/13-24/x₀=21/9，即：24/x₀=38/13-21/9=23/39,所以x₀=936/23.

※.导数解析函数单调性应用举例

1、[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。例题1:已知函数f(x)=-43lnx+22x²/13+122，计算函数f(x)的单调递减区间。解：对函数进行求导，有：∵f(x)=- 43lnx+22x²/13+122∴f'(x)=- 43/x+2*22x/13，本题要求函数的单调减区间，则：-43/x+2*22x/13＜0，(-43*13+2*22x²)/(13x)＜0，又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.故不等式解集等同于：2*22x²＜43*13，即：x²＜559/44,所以解集为：(0,(1/22)*√6149).

2、例题2:已知函数f(x)=(x²+65x+1103)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。解：对函数求一阶导数有：∵f(x)=(x²+65x+1103)/eˣ∴f'(x)=[(2x+65)eˣ-(x²+65x+1103)eˣ]/e^(2x),=(2x+65-x²-65x-1103)/eˣ,=-(x²+63x+1038)/eˣ,对于函数g(x)=x²+63x+1038，其判别式为： △=63²-4*1038=-183<0, 即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0， 此时:f'(x)= -(x²+63x+1038)/eˣ＜0， 所以函数f(x)=(x²+65x+1103)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。