高等数学导数运算等知识的应用举例

1、[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).

例题1：设函数f(x)在x=10处的导数为12，则极限lim(△x→0)[f(10+38△x)-f(10)]/(9△x)的值是多少？

解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为12，其定义为：lim(△x→0)[f(10+△x)-f(10)]/(△x)= 12。

对所求极限进行变形有：

lim(△x→0) 38*[f(10+38△x)-f(10)]/(9*38△x)

=lim(△x→0) (38/9)*[f(10+38△x)-f(10)]/(38△x),

=(38/9)lim(△x→0) [f(10+38△x)-f(10)]/(38△x),

=(38/9)*12,

=152/3.

2、例题2:有一小车的运动方程为s(t)=16t²+44/t(t是时间，s是位移)，则该小车在时刻t=6时的瞬时速度为多少？

解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：

v(t)=s'(t)=(16t²+44/t)',

=2*16t-44/t²,

当t=6时，有：

v(6)=2*16*6-44/6²,

v(6)=277/9,

所以小车在时刻t=6时的瞬时速度为277/9。

1、例题1：已知函数f(x)=(13x-17)lnx-67x²,求导数f'(1)的值。

解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。

∵f(x)= (13x-17)lnx-67x²，

∴f'(x)=13lnx+(13x-17)*(1/x)-2*67x

     =13lnx+(13x-17)/x-134x.

所以: f'(1)=0+13-17-134=-138.

即为本题所求的值。

2、例题2:已知函数f(x)=-(13/38)x²+29xf'(11400)+11400lnx，求f'(d14)的值。

解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。

∵f(x)=-(13/38)x²+29xf'(11400)+11400lnx，

∴f' (x)=-2*(13/38)x+29f'(11400)+11400/x,

则当x=11400时，有:

f'(11400)=-2*(13/38)*11400+29f'(11400)+11400/11400,

即:-2*(13/38)*11400+28f'(11400)+1=0,

所以: f'(11400)= 7799/28.

1、例题1：求函数f(x)=x(17x+18)³的图像在点(2,f(2))处的切线的斜率k。

    [知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。

解：本题对函数求导有：

f' (x)=(17x+18)³+3x(17x+18)²*17

=(17x+18)²*(17x+18+3*17x)

=(17x+18)²*(4*17x+18)

   当x=2时，有：

   斜率k=f'(2)

=(17*2+18)²*(4*17*2+18)

=2704*154

=416416，即为本题所求的值。

2、例题2：若曲线y=38x/13-24lnx在x=x₀处的切斜的斜率为21/9,则x₀的值是多少?

解：对曲线y进行求导，有：

y'=38/13-24/x，

根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：

38/13-24/x₀=21/9，

即：24/x₀=38/13-21/9=23/39,

所以x₀=936/23.

1、[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。

例题1:已知函数f(x)=-43lnx+22x²/13+122，计算函数f(x)的单调递减区间。

解：对函数进行求导，有：

∵f(x)=- 43lnx+22x²/13+122

∴f'(x)=- 43/x+2*22x/13，

本题要求函数的单调减区间，则：

-43/x+2*22x/13＜0，

(-43*13+2*22x²)/(13x)＜0，

又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.

故不等式解集等同于：

2*22x²＜43*13，

即：x²＜559/44,

所以解集为：(0,(1/22)*√6149).

2、例题2:已知函数f(x)=(x²+65x+1103)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。

解：对函数求一阶导数有：

∵f(x)=(x²+65x+1103)/eˣ

∴f'(x)=[(2x+65)eˣ-(x²+65x+1103)eˣ]/e^(2x),

=(2x+65-x²-65x-1103)/eˣ,

=-(x²+63x+1038)/eˣ,

对于函数g(x)=x²+63x+1038，其判别式为：

    △=63²-4*1038=-183<0,

    即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0，

        此时:f'(x)= -(x²+63x+1038)/eˣ＜0，

    所以函数f(x)=(x²+65x+1103)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。