如何求数列通项公式：[11]错项相减法

1、首先我们必须清楚错位相减法的使用范围，它适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列。我们把{an×bn}这种数列又称为差比数列。

2、举一个例子：

等差数列：an=2n+1

等比数列：bn=2^n

则：

an*bn=(2n+1)*2^n(记前n项和为Sn)

3、Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n-1)*2^(n-1)+(2n+1)*2^n；（1）

这是数列{an*bn}的前n项和，我们给上式左右两边同乘以等比数列{bn}的公比2得：

2Sn=3*4+5*8+7*16+...(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)；（2）

这个时候观察上面这两个式子，我们发现可以给（1）式末尾加0，给（2）式等号右边加0，变形得到下式：

4、Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n-1)*2^(n-1)+(2n+1)*2^n+0；（3）

2Sn=0+3*4+5*8+7*16+...(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)；（4）

用（3）式减去（4）式得：

-Sn=3*2+(5-3)*4+(7-5)*8...+[(2n+1)-(2n-1)]*2^n-(2n+1)*2^(n+1)

     =6+8+16+...+2^(n+1)-(2n+1)*2^(n+1)

这时注意上式加粗部分为等比数列前n项求和，故：

5、-Sn=6+8+16+...+2^(n+1)-(2n+1)*2^(n+1)

     =6+[8*(1-2^n)]/(1-2)-(2n+1)*2^(n+1)

     =6+2^(n+1)*4-8-(2n+1)*2^(n+1)

     =(3-2n)*2^(n+1)-2

所以Sn=2-(3-2n)*2^(n+1)