用Mathematica学习微分几何——曲线论（一）

1、       圆柱螺旋的参数方程是：

r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}

 ParametricPlot3D[r[t],{t,0,6*Pi}]

2、       圆柱螺旋是正则曲线，因为r'[t]≠0。

r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6} 

r'[t]

r'[t].r'[t]//FullSimplify

3、       求圆柱螺旋r[t]在t=π/3时的切线方程：

r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}

p={x,y,z};

p-r[t]==a r'[t]

       消去参数a，就得到螺旋线的切线方程：

r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}

p={x,y,z};

Eliminate[p-r[t]-a r'[t]==0,a]

       再用Rule指定t->π/3就行了。

4、       求r[t]的法平面的方程：

r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6} 

p={x,y,z};

       因为法平面和切向量垂直，所以(p-r[t]).(r'[t])==0

       这就是法平面方程。

5、       求螺旋线在｛t,0,t｝之间的弧长：

r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6} 

Integrate[Sqrt[r'[t].r'[t]],{t,0,t}]

       Mathematica有一个专门求曲线的弧长的函数：

ArcLength[r[t],{t,0,t}]

6、       如果把正则曲线的弧长记为s，有：

s=s[t]

       求出s和t的反函数：t=t[s]，就得到了曲线的自然参数方程：

r[s_]:=(r[t])/.t->6*s/Sqrt[37]r[s]//Simplify//TraditionalForm

       此时，自然参数方程是：

r[s_]:={Cos[6 s/Sqrt[37]],Sin[6 s/Sqrt[37]],s/Sqrt[37]}

7、       在自然参数下，r[s]的微商的模长是1。

r[s_]:={Cos[6 s/Sqrt[37]],Sin[6 s/Sqrt[37]],s/Sqrt[37]} 

r[s]

r'[s]

r'[s].r'[s]

r'[s].r'[s]//Simplify