高等数学导数知识的应用举例

1、※.导数的定义应用举例[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)屏顿幂垂=lim(△x→0)[f(x+△x)幻腾寂埒-f(x)]/(△x).例题1：设函数f(x)在x=13处的导数为1，则极限lim(△x→0)[f(13+60△x)-f(13)]/(59△x)的值是多少？解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为1，其定义为：lim(△x→0)[f(13+△x)-f(13)]/(△x)= 1。对所求极限进行变形有：lim(△x→0) 60*[f(13+60△x)-f(13)]/(59*60△x)=lim(△x→0) (60/59)*[f(13+60△x)-f(13)]/(60△x),=(60/59)lim(△x→0) [f(13+60△x)-f(13)]/(60△x),=(60/59)*1,=60/59.

2、例题2:有一物体的运动方程为s(t)=23t²+38/t(t是时间，s是位移)，则该物体在时刻t=5时的瞬时速度为多少？解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：v(t)=s'(t)=(23t²+38/t)',=2*23t-38/t²,当t=5时，有：v(5)=2*23*5-38/5²,v(5)=1112/25,所以物体在时刻t=5时的瞬时速度为1112/25。

3、※.导数的基本运算举例例题1：已知函数f(x)=(49x-115)lnx-52x²,求导数f'(1)的值。解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。∵f(x)= (49x-115)lnx-52x²，∴f'(x)=49lnx+(49x-115)*(1/x)-2*52x =49lnx+(49x-115)/x-104x.所以: f'(1)=0+49-115-104=-170.即为本题所求的值。

4、例题2:已知函数f(x)=-(29/8)x²+25xf'(2400)+2400lnx，求f'(d14)的值。解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。∵f(x)=-(29/8)x²+25xf'(2400)+2400lnx，∴f' (x)=-2*(29/8)x+25f'(2400)+2400/x,则当x=2400时，有:f'(2400)=-2*(29/8)*2400+25f'(2400)+2400/2400,即:-2*(29/8)*2400+24f'(2400)+1=0,所以: f'(2400)= 17399/24.

5、※.导数的几何意义应用举例例题1：求函数f(x)=x(6x+7)³的图像在点(1,f(1))处的切线的斜率k。 [知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。解：本题对函数求导有：f' (x)=(6x+7)³+3x(6x+7)²*6=(6x+7)²*(6x+7+3*6x)=(6x+7)²*(4*6x+7) 当x=1时，有： 斜率k=f'(1)=(6*1+7)²*(4*6*1+7)=169*31=5239，即为本题所求的值。

6、例题2：若曲线y=20x/12-21lnx在x=x₀处的切斜的斜率为30/31,则x₀的值是多少?解：对曲线y进行求导，有：y'=20/12-21/x，根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：20/12-21/x₀=30/31，即：21/x₀=20/12-30/31=65/93,所以x₀=1953/65.

7、※.导数解析函数单调性应用举例[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若垓矗梅吒x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x像粜杵泳)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。例题1:已知函数f(x)=-44lnx+45x²/13+126，计算函数f(x)的单调递减区间。解：对函数进行求导，有：∵f(x)=- 44lnx+45x²/13+126∴f'(x)=- 44/x+2*45x/13，本题要求函数的单调减区间，则：-44/x+2*45x/13＜0，(-44*13+2*45x²)/(13x)＜0，又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.故不等式解集等同于：2*45x²＜44*13，即：x²＜286/45,所以解集为：(0,(1/15)*√1430).

8、例题2:已知函数f(x)=(x²+10x+115)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。解：对函数求一阶导数有：∵f(x)=(x²+10x+115)/eˣ∴f'(x)=[(2x+10)eˣ-(x²+10x+115)eˣ]/e^(2x),=(2x+10-x²-10x-115)/eˣ,=-(x²+8x+105)/eˣ,对于函数g(x)=x²+8x+105，其判别式为： △=8²-4*105=-356<0, 即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0， 此时:f'(x)= -(x²+8x+105)/eˣ＜0， 所以函数f(x)=(x²+10x+115)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。