分式函数y=(x^3+7x^2)/(x-1)^2的图像示意图

1、函数的定义域∵x-1≠0，∴x≠1，即函数y=(x^3+7x^2)/(x-1)^2的定义域为：(-∞,1)∪(1,+∞）。

2、 函数的单调性也叫函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值f(x)也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性。

3、令dy/dx=0，则x1=0或x^2-3x-14=0.

当x^2-3x-14=0时，有：

x2=(3-√65)/2，x3=(3+√65)/2.

(1).当x∈((3-√65)/2,0), (1,(3+√65)/2]时，

dy/dx＜0，此时函数y为减函数；

(2).当x∈(-∞，(3-√65)/2],[0,1),((3+√65)/2，+∞)时，

dy/dx＞0，此时函数y为增函数。

4、∵dy/dx=(x^3-3x^2-14x)/(x-1)^3

∴d^2y/dx^2

=[(3x^2-6x-14)(x-1)^3-3(x^3-3x^2-14x)(x-1)^2]/(x-1)^6

=[(3x^2-6x-14)(x-1)-3(x^3-3x^2-14x)]/(x-1)^4

=(34x+14)/(x-1)^4

=2(17x+7)/(x-1)^4   

5、令d^2y/dx^2=0,则：

则: 17x+7=0，即x=-7/17.

(1).当x∈(-∞，-7/17)时，d^2y/dx^2＜0，

此时函数y为凸函数；

(2).当x∈(-7/17,1)∪(1，+∞)时，

d^2y/dx^2＞0，此时函数y为凹函数。

6、x -6.53 -5.53 -4.53 -3.53 -2.53

y 0.353 1.054 1.657 2.107 2.296

x -2.53 -1.47 -0.41 -0.20 0

y 2.296 1.958 0.557 0.188 0

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4

y 0 0.087 0.45 1.340 3.288

7、x 2 2.88 3.76 4.64 5.53

y 36 23.18 19.96 18.91 18.67

x 5.53 5.73 5.93 6.13 6.33

y 18.67 18.68 18.70 18.74 18.80

8、综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，函数y=(x^3+7x^2)/(x-1)^2的示意图如下：