函数y=2x^3-3x的图像

1、        主要通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限和奇偶性等性质，介绍函数用导数工具画函数y=2x^3-3x的图像的主要步骤。

1、函数的定义域，根据函数特征，函数自变量可以取全体实数，即定义域为：(-∞，+∞）。

2、通过函数的一阶导数，求出函数驻点，由一阶导数的正负，判断函数的单调性，进而得到函数的单调区间。

3、通过求解函数的二次导数，判定函数图像的凸凹性。

4、函数的极限，即求出函数在无穷处的极限。

5、函数的奇偶性，因为f(-x)=-f(x),所以函数为奇函数，函数图像关于原点对称，具体判断过程如下图所示：

6、函数图像五点示意图，列图表解析函数上的五点图如下表所示。

7、综合以上函数的相关性质，结合函数的定义域，即可简要画出函数的示意图。

1、函数y=2x^3-3x，通过导数知识，求:(1)求函数f(x)在点A(3,f(3))处的切线；(2)求函数f(x)单调区间及极值。

2、解：问题（1）：

当x=3时，y(1)=2*3^3-3*3=45;

y=2^3-3x,求导得：

y´=4x2-3,当x=3时，

y´(1)=4*3^2-3=33，即为切线的斜率。

则切线的方程为:

y-45=33(x-3),化为一般方程为：

y-33x+54=0。

3、问题(2)：

y´=4x^2-3，令y´=0，则x=±√3/2 .

1).当x∈(-∞，-√3/2 )和(√3/2，+∞)时，

y´>0,此时函数y为单调增函数，所求区间为单调增区间。

2).当x∈[-√3/2 ,√3/2 ]时，

y´<0,此时函数y为单调减函数，所求区间为单调减区间。

则在x1=-√3/2 处取极大值，在x2=√3/2 处取极小值。

所以：

极大值=f(-√3/2 )

=-2(√3/2 )3-3*(-√3/2 )=3√3/4;

极小值=f(√3/2 )

=2(√3/2 )3-3*(√3/2 )=-3√3/4。