【抽象代数】正四面体群的三维矩阵表示

1、正四面体群最直接的表示，就是群元素作用于正四面体。

2、如果O为正四面体的中心，选择向量集合{OB、OC、OD}作为三维空间的基，那么，点B的坐标就可以写为：{1,0,0}，点C的坐标就可以写为：{0,1,0}，点D的坐标就可以写为：{0,0,1}。

进而，点A的坐标可以写为{-1,-1,-1}，这是因为O=(A+B+C+D)/4。

3、以OA为旋转轴，旋转120°，这个变换记为a，它把{OB,OC,OD}变成了{OC,OD,OB}。因此，a对应的旋转矩阵可以表示为：

4、设AC的中点为X，BD的中点为Y，以XY为旋转轴旋转180°，把这个变换记为b，它把{OB,OC,OD}变成了{OD,OA,OB}。因此，b对应的旋转矩阵可以表示为：

5、这样，a和b就可以生成整个正四面体群。

先用集合{a,b}作乘法表，并查看乘法表里面的元素是否能够成为一个群：

F[G_] := Union[Flatten[Simplify[Table[m.n, {m, G}, {n, G}]], 1]]

G = Union[{a, b}];

如果F[G] == G，则G为群。

但是此时，F[G]四个元素，而G有两个元素，因此G不是群。

6、用F[G]代替G。

G = F[G];

F[G] == G

Length[#] & /@ {F[G], G}

这个程序运行三次，终于得到F[G] == G，此时G有12个元素。这恰好是正四面体群的一个三维表示。