怎么用计算机进行向量空间的基变换演算

向量空间的基变换，指的是，选用一组新的基向量，用这组基向量的线性组合，来重新表述这个向量空间。举个简单的例子：二维空间的一个标准正交基是u={1,0}、v={0,1}，那么，5u+12v就表示向量w={5,12}，如果把向量空间的基选为u'={5,0}、v'={0,6}，w怎么表示呢？下面，我就用Mathematica来演算一般情形。

工具/原料

电脑

Mathematica

二维空间基变换

1、给出标准正交基：u={1,0};v={0,1};那么，向量w={a,b}可以用u和v的线性组合表示出来，简单的解方程组就可以。

3、然而，基变换：{u,v}→{u',v'}可以用矩阵乘法来实现。窘谒樗缚假设A是这个基变换的变换矩阵，那么：{u',v'}.A={u,v}反过来，A={u,v}.Inverse[{u',v'}]这里把{u,v}和{u',v'}当成2*2的矩阵来对待。

5、基变换下，两点间的距离是否变化？给定另一点M，在标准正交基下的坐标为：M={m,n};那么，此时，M、W的距离是：Sqrt[(W-M).(W-M)]

三维空间基变换

1、给出标准正交基：u={1,0,0};v={0,1,0娅势毁歹};w={0,0,1};新基：u'={a,b,c};v'={d,e,f};w'=撑俯擂摔{p,q,r};那么，变换矩阵可以写为：A={u,v,w}.Inverse[{u',v',w'}]隐含条件是：-cep+bfp+cdq-afq-bdr+aer≠0