怎么用计算机进行向量空间的基变换演算?

2025-10-22 02:29:04

1、给出标准正交基:

u={1,0};v={0,1};

那么,向量w={a,b}可以用u和v的线性组合表示出来,简单的解方程组就可以。

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2、如果选择新的基:

u'={p,q};v'={r,s};

w怎么表示?

看下图,演算结果隐含了一个条件:ps-qr≠0。

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3、然而,基变换:{u,v}→{u',v'}可以用矩阵乘法来实现。

假设A是这个基变换的变换矩阵,那么:

{u',v'}.A={u,v}

反过来,A={u,v}.Inverse[{u',v'}]

这里把{u,v}和{u',v'}当成2*2的矩阵来对待。

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4、那么,标准正交基下的向量w={a,b}在新基下面的表示,就可以写为:

w.A

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5、基变换下,两点间的距离是否变化?

给定另一点M,在标准正交基下的坐标为:

M={m,n};

那么,此时,M、W的距离是:

Sqrt[(W-M).(W-M)]

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6、基变换之后:

W={(b*r-a*s)/(q*r-p*s),(b*p-a*q)/(-(q*r)+p*s)};

M={(n*r-m*s)/(q*r-p*s),(n*p-m*q)/(-(q*r)+p*s)};

奇怪,距离变了吗?

要想解释这个假象,就需要测度论的辅助,这里不予介绍。

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1、给出标准正交基:

u={1,0,0};v={0,1,0};w={0,0,1};

新基:

u'={a,b,c};v'={d,e,f};w'={p,q,r};

那么,变换矩阵可以写为:

A={u,v,w}.Inverse[{u',v',w'}]

隐含条件是:-cep+bfp+cdq-afq-bdr+aer≠0

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2、标准正交基下的向量{x,y,z}在新基下的线性表示为:

{x,y,z}.A

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