怎么用计算机进行向量空间的基变换演算?
1、给出标准正交基:
u={1,0};v={0,1};
那么,向量w={a,b}可以用u和v的线性组合表示出来,简单的解方程组就可以。
2、如果选择新的基:
u'={p,q};v'={r,s};
w怎么表示?
看下图,演算结果隐含了一个条件:ps-qr≠0。
3、然而,基变换:{u,v}→{u',v'}可以用矩阵乘法来实现。
假设A是这个基变换的变换矩阵,那么:
{u',v'}.A={u,v}
反过来,A={u,v}.Inverse[{u',v'}]
这里把{u,v}和{u',v'}当成2*2的矩阵来对待。
4、那么,标准正交基下的向量w={a,b}在新基下面的表示,就可以写为:
w.A
5、基变换下,两点间的距离是否变化?
给定另一点M,在标准正交基下的坐标为:
M={m,n};
那么,此时,M、W的距离是:
Sqrt[(W-M).(W-M)]
6、基变换之后:
W={(b*r-a*s)/(q*r-p*s),(b*p-a*q)/(-(q*r)+p*s)};
M={(n*r-m*s)/(q*r-p*s),(n*p-m*q)/(-(q*r)+p*s)};
奇怪,距离变了吗?
要想解释这个假象,就需要测度论的辅助,这里不予介绍。
1、给出标准正交基:
u={1,0,0};v={0,1,0};w={0,0,1};
新基:
u'={a,b,c};v'={d,e,f};w'={p,q,r};
那么,变换矩阵可以写为:
A={u,v,w}.Inverse[{u',v',w'}]
隐含条件是:-cep+bfp+cdq-afq-bdr+aer≠0
2、标准正交基下的向量{x,y,z}在新基下的线性表示为:
{x,y,z}.A
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