七道数学极限练习题及计算过程A13

本经验以极限分子分母根据所求极限条件，以及使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e和三角函数公式，介绍7种不同情形下函数极限的计算过程。

1.计算lim(n→∞)(13n²-12)/(26n⁴+18n-8)

1、解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：lim(n→∞)(13n²-12)/(26n⁴+18n-8)=lim(n→∞)(13/n-12/n⁴)/(26+18/n³-8/n⁴),=0。

2.计算lim(n→∞)(22n-35n-28)/(35+9n-31n²)

1、2.计算lim(n→∞)(22n-35n-28)/(35+9n-31n²)解：思路一：观察所求极限特征，可知所求癀溢汾鲜极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：lim(n→∞)(22n²-35n-28)/(35+9n-31n²)=lim(n→∞)(22-35/n-28/n²)/(35/n+9/n-31),=(22-0)/(0-31),=-22/31。

2、 思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：lim(n→∞)(22n²-35n-28)/(35+9n-31n²)=lim(n→∞)(44n-35)/(9-62n)，继续使用罗必塔法则，=lim(n→∞)(44-0)/(0-62)，=-22/31。

3.求极限lim(x→1)(x³-31x+30)/(x⁴-40x+39)

1、3.求极限lim(x→1)(x³-31x+30)/(x⁴-40x+39)解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：lim(x→1)(x³-31x+30)/(x⁴-40x+39)=lim(x→1)(x-1)(x²+x-30)/[(x-1)(x³+x²+x-39)],=lim(x→1)(x²+x-30)/(x³+x²+x-39),=(1+1-30)/(1+1+1-39),=7/9。

4.求lim(x→0)(23x+28sin3x)/(4x-47sin11x)

1、解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：lim(x→0)(23x+28sin3x)/(4x-47sin11x)，=lim(x→0)(23+28sin3x/x)/(4-47sin11x/x)，=lim(x→0)(23+84sin3x/3x)/(4-517sin11x/11x)，=(23+84)/(4-517)，=-107/513。

2、思路二：使用罗必塔法则计算有：lim(x→0)(23x+28sin3x)/(4x-47sin11x)，=lim(x→0)(23+28*3cos3x)/(4-47*11cos11x)，=(23+28*3)/(4-47*11)，=-107/513。

5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(46x+49)

1、5.求lim猾诮沓靥(x→∞)(x²sin1/x)/(46x+49)。解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：lim(x→∞)(x²sin1/x)/(46x+49)=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(46x+49)/x],=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[46+(49/x)],=1/{lim(x→∞)[46+(49/x)]},=1/46。

6.求lim(x→0)(sinx-sin73x)/sin36x

1、解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：lim(x→0)(sinx-sin73x)/sin36x=lim(x→0)2cos37xsin(-36x)/sin36x,=lim(x→0)-2cos37x,=-2cos0=-2。

2、思路二：使用罗必塔法则计算有：lim(x→0)(sinx-sin73x)/sin36x,=lim(x→0)(cosx-sin73cos73x)/(36cos36x)，=lim(x→0)(1-73)/36，=-2。

7.求lim(x→0)(1+2x)^(11/21x)。

1、解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：lim(x→0)(1+2x)^(11/21x),=lim(x→0){[(1+2x)^(1/2x)]}^(11*2/21),=e^(11*2/21),=e^(22/21)。