画中谜——均值不等式的几何解释

1、首先我们给出四种平均数的定义及均值不等式。

2、画中谜，试在图中找找这四种平均数。

3、分解图形，找到算术平均数和几何平均数。

4、作辅助线，找到调和平均数。

5、最后找到平方平均数。

6、好了，现在我们已经在图1中找到了a.b的四种平均数，即Q(a,b)=DF，A(a,b)=AO=OF，G(a,b)=AD，H(a,b像粜杵泳)=DE。利用非常浅显的几何知识（直角三角形中斜边大于直角边和“整体大于部分”）就可以立刻“看出”四种平均数的大小关系。由于在图1中DF>OF=OA>AD>DE，并且等式DF=OF=OA=AD=DE成立的充要条件为a=b，于是得到四种平均数的大小关系为Q(a,b)≥A(a,b)≥G(a,b)≥H(a,b)，当且仅当a=b时上述不等式链中同时取等号。